1、3指数函数(一)学习目标1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图像和性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域.知识点一指数函数一般地，函数yax(a0，且a1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.特别提醒：(1)规定yax中a0，且a1的理由：当a0时，ax可能无意义；当a0时，x可以取任何实数；当a1时，ax1(xR)，无研究价值.因此规定yax中a0，且a1.(2)要注意指数函数的解析式：底数是大于0且不等于1的常数；指数函数的自变量必须位于指数的位置上；ax的系数必须为1；指数函数等号右边不会是多项式，如y2x1不是指数函数.知识
2、点二指数函数的图像和性质指数函数yax(a0，且a1)的图像和性质：a10a0时，y1；x0时，0y0时，0y1；x1(5)是R上的增函数(5)是R上的减函数1.yxx(x0)是指数函数.()2.yax2(a0且a1)是指数函数.()3.因为a01(a0且a1)，所以yax恒过点(0,1).()4.yax(a0且a1)的最小值为0.()题型一指数函数的概念例1(1)下列函数中是指数函数的是_.(填序号)y2()x；y2x1；yx；y；y(2)若函数y(a23a3)ax是指数函数，则实数a_.(3)若函数y(2a3)x是指数函数，则实数a的取值范围是_.答案(1)(2)2(3)(2，)解析(1)
3、中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；中y2x12x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；中指数不是x，故不是指数函数；中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填.(2)由y(a23a3)ax是指数函数，可得解得a2.(3)由题意知解得a且a2.反思感悟判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求；(2)ax前的系数是否为1；(3)指数是否符合要求.跟踪训练1(1)若函数ya2(2a)x是指数函数，则()A.a1或1 B.a1C.a1 D.a0且a1(2)已知函数f(x)是指数函数，且f，则f(3)_.答案(1)C(2)125解析(1)因为函数ya2(2a
4、)x是指数函数，所以即a1.(2)设f(x)ax(a0，且a1)，由f得所以a5，即f(x)5x，所以f(3)53125.题型二指数函数的图像及应用例2(1)函数yax(a0，且a1)的图像可能是()答案D(2)函数f(x)1ax2(a0，且a1)恒过定点_.答案(2,2)(3)已知函数y3x的图像，怎样变换得到yx12的图像？并画出相应图像.解yx123(x1)2.作函数y3x的图像关于y轴的对称图像得函数y3x的图像，再向左平移1个单位长度就得到函数y3(x1)的图像，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y3(x1)2x12的图像，如图所示.反思感悟处理函数图像问题的策略(1)抓住特殊点：
5、指数函数的图像过定点(0,1)，求指数型函数图像所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图像所过的定点.(2)巧用图像变换：函数图像的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.跟踪训练2(1)已知函数f(x)4ax1(a0，且a1)的图像经过定点P，则点P的坐标是()A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0)考点指数函数的图像与性质题点指数函数图像过定点问题答案A解析当x10，即x1时，ax1a01，为常数，此时f(x)415.即点P的坐标为(1,5).(2)函数ya|x|(a1)的图像是()考点指数函数的图像与性质题点指数函数
6、图像的应用答案B解析函数ya|x|是偶函数，当x0时，yax.由已知a1，故选B.利用指数函数的图像求函数定义域、值域典例(1)求函数y的定义域、值域.考点指数函数的值域题点指数型复合函数的值域解要使函数有意义，则x应满足32x10，即32x132.y3x在R上是增函数，2x12，解得x.故所求函数的定义域为.当x时，32x1.32x10，).原函数的值域为0，).(2)求函数y4x2x1的定义域、值域.解函数的定义域为R，y(2x)22x12，2x0，当2x，即x1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，值域为.素养评析(1)函数yaf(x)的定义域与值域的求法形如yaf(x)的函数的定
7、义域就是f(x)的定义域.形如yaf(x)的值域，应先求出f(x)的值域，再由函数的单调性求出af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论.形如yf(ax)的值域，要先求出uax的值域，再结合yf(u)确定出yf(ax)的值域.(2)结合指数函数的图像求定义域、值域体现了对学生直观想象的考查，同时在求值域时，换元、分类讨论的应用又体现了数学运算的核心素养.1.下列各函数中，是指数函数的是()A.y(3)x B.y3xC.y3x1 D.yx考点指数函数的概念题点指数函数的判断答案D2.若函数y(2a1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A.a0，且a1 B.a0，且
8、a1C.a，且a1 D.a考点指数函数的概念题点根据指数函数的定义求参数答案C3.函数f(x)axb的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是()A.a1，b1，b0C.0a0D.0a1，b0，且a1)的图像恒过定点_.答案(3,4)5.函数f(x)的定义域为_.考点指数函数的定义域题点指数型复合函数的定义域答案(3,0解析由题意，自变量x应满足解得3x0.1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合yax(a0，且a1)这一结构形式，即ax的系数是1.2.指数函数yax(a0，且a1)的性质分底数a1，0a0，且a1)的定义域为R，即xR，所以函数yaf(x)(a0，且a1)与函数f(x)的定义域相同.4.求函数yaf(x)(a0，且a1)的值域的方法如下：(1)换元，令tf(x)，并求出函数tf(x)的定义域；(2)求tf(x)的值域tM；(3)利用yat的单调性求yat在tM上的值域.