1、4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题知识点2k，的诱导公式对任意角，有下列关系式成立：sin(2k)sin ，cos(2k)cos (1.8)sin()sin ，cos()cos (1.9)sin(2)sin ， cos(2)cos (1.10)sin()sin ，cos()cos (1.11)sin()sin ，cos()cos (1.12)公式1.81.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”其含义是诱导公
2、式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号1sin()sin .()提示sin()sin()sin()sin .2cos .()提示cos coscos .3诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用()提示在角度制和弧度制下，公式都成立.题型一利用诱导公式求值命题角度1给角求值问题例1求下列各三角函数式的值(1)cos 210；(2)sin ；(3)sin；(4)cos(1 920)解(1)cos 210cos(18030)cos 30.(2)sinsinsinsinsin.(3)sinsinsinsinsin.(4)cos(1 920)cos 1 920c
3、os(5360120)cos 120cos(18060)cos 60.反思感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式1.9来转化(2)“大化小”：用公式1.8角化为0到360间的角(3)“角化锐”：用公式1.10或1.11将大于90的角转化为锐角(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值跟踪训练1求下列各三角函数式的值(1)sin 1 320；(2)cos.解(1)方法一sin 1 320sin(3360240)sin 240sin(18060)sin 60.方法二sin 1 320sin(4360120)sin(120)sin(18060)sin 60.(2)方法一co
4、scoscoscoscos .方法二coscoscoscos.命题角度2给值(式)求值问题例2(1)已知sin()0.3，则sin(2)_.(2)已知cos，则cos_.答案(1)0.3(2)解析(1)sin()sin 0.3，sin 0.3，sin(2)sin 0.3.(2)coscoscos.反思感悟解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用跟踪训练2已知sin ，cos()1，则sin(2)的值为()A1 B1C. D答案D解析由cos()1，得2k(kZ)，则2()2k(kZ)，si
5、n(2)sin(2k)sin()sin .题型二利用诱导公式化简例3化简：.解原式1.引申探究若本例改为：(nZ)，请化简解当n2k时，原式1；当n2k1时，原式1.综上，原式1.反思感悟利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值跟踪训练3化简：.解原式1.利用诱导公式判断三角形形状典例在ABC中，若sin(ABC)sin(BAC)0，试判断ABC的形状解sin(ABC)sin(BAC)sin(2C)sinB(B)sin 2Csin(2B)0，得sin 2Csin(2B)，则2C2B或2C(2B)，即BC或BC.ABC为直角三角形或等腰三角形素养评析本题根据三
6、角形中ABC，利用诱导公式化简运算从而使问题得解，这正是数学核心素养数学运算的具体体现.1已知角和的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是()Asin sin Bsin(2)sin Ccos cos Dcos(2)cos 答案C解析由角和的终边关于x轴对称，可知2k(kZ)，故cos cos .2cossin的值为()A B. C. D.答案C解析原式cos sin cos sin cos sin .3如果180，那么下列等式中成立的是()Acos cos Bcos cos Csin sin Dsin cos 答案B4sin 750_.答案解析sin sin(k360)，kZ，sin 750sin(236030)sin 30.5化简：.解原式1.1明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式1.8将角转化为02之间的角求值公式1.12将02内的角转化为0之间的角求值公式1.9将负角转化为正角求值公式1.11将角转化为0之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角