1、4平面向量的坐标4.1平面向量的坐标表示4.2平面向量线性运算的坐标表示学习目标1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来知识点一平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解知识点二平面向量的坐标表示1平面向量的坐标(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a(x，y)(2)在平面直角坐
2、标平面中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)2点的坐标与向量坐标的区别和联系区别表示形式不同向量a(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同知识点三平面向量的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2).数学公式文字语言表述向量加、减法ab(x1x2，y1y2)向
3、量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差向量数乘a(x1，y1)实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积向量坐标(x2x1，y2y1)一个向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的相应坐标思考若a，b，则向量与ba的坐标相同吗？答案由于ba，因此与ba的坐标相同1相等向量的坐标相等()2在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量(x1x2，y1y2)()提示(x2x1，y2y1)3与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i(1,0)，j(0,1)()4当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()题型一平面向量的坐标表示例1如图，在平面直角坐标系x
4、Oy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，a，b.四边形OABC为平行四边形(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的坐标；(3)求点B的坐标解(1)如图，作AMx轴于点M，则OMOAcos 4542，AMOAsin 4542.A(2，2)，故a(2，2)AOC18010575，AOy45，COy30.又OCAB3，C，即b.(2).(3)(2，2).反思感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标跟踪训练1在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|2，|b|3，|c|4，分别计算出它们的坐标考点平向向量的正
5、交分解及坐标表示题点平面向量的正交分解求向量的坐标解设a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，则a1|a|cos 452.a2|a|sin 452，b1|b|cos 1203，b2|b|sin 1203，c1|c|cos(30)42，c2|c|sin(30)42.因此a(，)，b，c(2，2)题型二平面向量的坐标运算例2已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.解(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1)(3)ab(1,2)(2,1).反思感悟向量坐标运算
6、的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行跟踪训练2已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量等于()A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)考点平面向量加法与减法的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案A解析设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，即x4，y2，故C(4，2)，则(7，4)，故选A.题型三平面向量坐标运算的应用例3已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)若(R)，试求当为何值时：(1)
7、点P在第一、三象限的角平分线上；(2)点P在第三象限内解设点P的坐标为(x，y)，则(x，y)(2,3)(x2，y3)，(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17)，则(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5547，.(2)若点P在第三象限内，则1.反思感悟(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量由此可建立相等关系求某些参数的值跟踪训练3已知平面上三点的坐标分别为A(2,1
8、)，B(1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点解当平行四边形为ABCD时，设D(x，y)，由(1,2)，(3x,4y)，且，得D(2,2)当平行四边形为ACDB时，设D(x，y)，由(1,2)，(x3，y4)，且，得D(4,6)当平行四边形为ACBD时，设D(x，y)，由(5,3)，(1x,3y)，且，得D(6,0)，故D点坐标为(2,2)或(4,6)或(6,0).1设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b等于()A(7,3) B(7,7) C(1,7) D(1,3)答案A2已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()A. B. C(8,1) D(8
9、,1)答案A解析(8,1)，.3已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A. B. C(3,2) D(1,3)答案A解析设D点坐标为(x，y)，则(4,3)，(x，y2)，由2，得D.4若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c等于()A3ab B3abCa3b Da3b考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量答案A解析设cxayb，则解得c3ab.5已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，3，2，则的坐标为_考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案(9，18)解析3(1,8)(3,24)，2(6,3)(12,6)，(12,6)(3,24)(9，18)1向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据向量的坐标表示，贯通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化2要区分向量终点的坐标与向量的坐标由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则(xBxA，yByA)3向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积