1、4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性学习目标1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义知识点一任意角的正弦函数和余弦函数1对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的纵坐标v定义为角的正弦函数，记作vsin ；点P的横坐标u定义为角的余弦函数，记作ucos .2对于给定的角，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数知识点二正弦
2、、余弦函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数R知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin cos 知识点四周期函数一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(xT)f(x)，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k(kZ，k0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期，简称为周期1函数f(x)x2满足f(36)f(3)，所以f(x)x2是以6为周期的周期函数()提示周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有f(
3、xT)f(x)，对于f(x)x2，f(0)0，f(06)f(6)36，f(0)f(06)，f(x)x2不是以6为周期的周期函数2任何周期函数都有最小正周期()提示对于常函数f(x)c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.题型一正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1已知角终边上一点坐标求三角函数值例1已知终边上一点P(x,3)(x0)，且cos x，求sin 的值解由题意知r|OP|，由三角函数定义得cos .又cos x，x.x0，x1.当x1时，P(1,3)，此时sin .当x1时，P(1,3)，此时sin .综上，sin 的值为.反思感悟(1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函
4、数值的方法先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应的三角函数值在的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r0)，则sin ，cos .当已知的终边上一点求的三角函数值时，用该方法更方便(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论跟踪训练1已知角的终边过点P(3a,4a)(a0)，求2sin cos 的值解r5|a|.若a0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，2sin cos 1.若a0时，rk，是第四象限角，sin ，10sin 103330.(2)当k0，则为第一象限角，r2a，所以sin ，co
5、s .若a0，则为第三象限角，r2a，所以sin ，cos .题型二正弦、余弦函数值符号的判断例3(1)若是第二象限角，则点P(sin ，cos )在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析为第二象限角，sin 0，cos 0，点P在第四象限，故选D.(2)判断下列各式的符号sin 145cos(210)；sin 3cos 4.解145是第二象限角，sin 1450，210360150，210是第二象限角，cos(210)0，sin 145cos(210)0.3，4，sin 30，cos 40，sin 3cos 40.反思感悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准
6、确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决正弦、余弦函数值符号判断问题的关键跟踪训练3如果点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案B解析因为点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，所以sin cos 0，且2cos 0，则所以为第二象限角题型三周期性例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2)f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数证明(1)f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)，由
7、周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数(2)f(x4)f(x2)2f(x)，由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数反思感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对定义域内任意实数x，都有f(xT)f(x)(2)一般地，如果f(xa)f(x)，那么f(x)的周期为2a(a0)；如果f(xa)，那么f(x)的周期也为2a(a0)跟踪训练4若函数yf(x)(xR)满足f(x)f(xa)f(xa)(a0，cos 0.2.3设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x(1,0)时，f(x)2x1，则f的值为()A2 B0 C1 D3答案B解析f(x)是以1为一个周
8、期的函数，kZ且k0，也是f(x)的周期f(xk)f(x)，故ff，从而ff.又当x(1,0)时，f(x)2x1，ff210.4点P(sin 2 016，cos 2 016)位于第 象限答案三解析2 0165360216，2 016是第三象限角，sin 2 0160，则rx，从而sin ，cos ，cos sin .若x0，则rx，从而sin ，cos ，cos sin .1三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点2三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因为角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想3正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求02(或0360)角的三角函数值.