1、6平面向量数量积的坐标表示学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直知识点一平面向量数量积的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.这就是说，两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式向量模长a(x，y)|a|以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量|知识点三向量夹角的坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则(1)cos .(2)abab0x1x2y1
2、y20.知识点四直线的方向向量1给定斜率为k的直线l，则向量m(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量2对于直线l：AxByC0，可取直线l的方向向量为m(B0)，或取直线l的方向向量为m(B，A)1若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.()2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.()3若两个非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是锐角()提示当两向量同向共线时，cos 10，但夹角0，不是锐角4两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a与b的夹角为0.()题型
3、一数量积的坐标运算例1(1)已知a(2，1)，b(1，1)，则(a2b)(a3b)等于()A10 B10 C3 D3考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案B解析a2b(4，3)，a3b(1,2)，所以(a2b)(a3b)4(1)(3)210.(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E在边CD上，且2，则的值是_考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案解析以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系AB，BC2，A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)，点E在边CD上，且2，E.，4.反思感悟数
4、量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式abx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2aa；(ab)(ab)|a|2|b|2；(ab)2|a|22ab|b|2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积跟踪训练1向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a等于()A1 B0 C1 D2答案C解析因为a(1，1)，b(1,2)，所以2ab2(1，1)(1,2)(1,0)，则(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选C.题型二平面向量的模例2已知平面向量a(3,5)，b(2,1)(1)求a2b及其模的大小；(2)若
5、ca(ab)b，求|c|.考点平面向量模的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的模解(1)a(3,5)，b(2,1)，a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)，|a2b|.(2)ab651，cab(1,6)，|c|.反思感悟求向量a(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2|a|2x2y2，求模时，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化跟踪训练2已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|等于()A. B. C5 D25考点平面向量模的坐标表示与应用题点利用
6、坐标求向量的模答案C解析a(2,1)，a25，又|ab|5，(ab)250，即a22abb250，5210b250，b225，|b|5.题型三平面向量的夹角问题例3已知点A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，O(0,0)，若|，(0，)，则，的夹角为()A. B. C. D.考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点求坐标形式下的向量的夹角答案D解析因为|2()222296cos 113，所以cos ，因为(0，)，所以，所以C，所以cos，因为0，所以，所以，的夹角为，故选D.反思感悟利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积(2)利用|a|求
7、两向量的模(3)代入夹角公式求cos ，并根据的范围确定的值跟踪训练3已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点已知坐标形式下的向量夹角求参数解a(1，1)，b(，1)，|a|，|b|，ab1.又a，b的夹角为钝角，即0)，AB2，点B的坐标是(2,0)，(2,0)，(x2，y)1，2(x2)1，解得x.又SABC，|AB|y，y，C点坐标为，则，|，故边AC的长为.素养评析本题通过建立坐标系利用平面向量的坐标解决线段的长度问题，突出考查数学运算及数学直观的核心素养1已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()A. B. C.
8、D.答案B解析|a|，|b|，ab5，cosa，b.又a，b的夹角范围为0，a与b的夹角为.2已知向量，则ABC等于()A30 B45 C60 D120答案A解析|1，|1，cosABC，ABC30.3已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则等于()A4 B3 C2 D1答案B解析因为mn(23,3)，mn(1，1)，又(mn)(mn)，所以(mn)(mn)(23,3)(1，1)260，解得3.4已知平面向量a，b，若a(4，3)，|b|1，且ab5，则向量b_.答案解析|a|5，cosa，b1，a，b方向相同，ba.5已知a(4,3)，b(1,2)(1)求a与b夹角的余弦值
9、；(2)若(ab)(2ab)，求实数的值解(1)ab4(1)322，|a|5，|b|，cosa，b.(2)ab(4，32)，2ab(7,8)，又(ab)(2ab)，(ab)(2ab)7(4)8(32)0，.1平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力3注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10，a，b不为0时，abx1x2y1y20.