1、3二倍角的三角函数(二)学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变形的基本思想方法.2.了解三角恒等变形的特点、变形技巧，掌握三角恒等变形的基本思想方法.3.能利用三角恒等变形对三角函数式化简、求值以及进行三角恒等式的证明和一些简单的应用知识点一半角公式sin ，cos，tan 知识点二辅助角公式asin xbcos xsin(x).1若k，kZ，则tan 恒成立()2辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中所在的象限由a，b的符号决定，与点(a，b)同象限()3sin xcos x2sin.()提示sin xcos x22sin.题型一应用半角公式求值例1已知s
2、in ，3，求cos和tan .解sin ，且3，cos .由cos 2cos21，得cos2.，cos .tan 2.反思感悟利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2，cos2计算(4)下结论：结合(2)求值跟踪训练1已知sin ，且，求sin ，cos 和tan .解sin ，cos
3、.又，sin ，cos ，tan 4.题型二三角函数式的化简例2化简.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解1.反思感悟三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：能求出值的应求出值；尽量使三角函数种数最少；尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法跟踪训练2化简(0)考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解原式.因为0，所以0，所以s
4、in 0，所以原式cos .题型三三角恒等式的证明例3求证：.证明要证原式，可以证明.左边tan 2，右边tan 2，左边右边，原式得证反思感悟证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法跟踪训练3求证：.考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明左边右边所以原等式成立题型四利用辅助角公式研究函数性质例4已知函数f(x)sin2sin2 (xR)
5、(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)sin2sin2sin1cos212sin12sin1，f(x)的最小正周期为T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，有2x2k(kZ)，即xk (kZ)，所求x的集合为.反思感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障跟踪训练4已知函数f(x)coscos，g(x)sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2
6、)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合解(1)f(x)cos2xsin2xcos 2x，f(x)的最小正周期为T.(2)h(x)f(x)g(x)cos 2xsin 2xcos，当2x2k(kZ)时，h(x)有最大值，此时x的集合为.题型五三角函数在实际问题中的应用例5如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值解如图，连接AP，设PAB(090)
7、，延长RP交AB于M，则AM90cos ，MP90sin .所以PQMB10090cos ，PRMRMP10090sin .所以S矩形PQCRPQPR(10090cos )(10090sin )10 0009 000(sin cos )8 100sin cos .令tsin cos (1t)，则sin cos .所以S矩形PQCR10 0009 000t8 1002950.故当t时，S矩形PQCR有最小值950 m2；当t时，S矩形PQCR有最大值(14 0509 000) m2.反思感悟解决与三角函数有关的实际问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围跟踪
8、训练5某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)解如图，连接OC，设COB，则00，cos .2已知tan3，则cos 等于()A. B C. D答案B解析cos .3函数f(x)sin2xsin xcos x在区间上的最大值是()A1 B2 C. D3答案C解析f(x)sin 2xsin，x，2x，sin，f(x)max1，故选C.4函数f(x)sin xcos x，x的最小值为 答案1解析f(x)sin，x.x，f(x)minsin1.5若2，sin ，求cos .解2，.又sin ，cos ，cos .1学习三角恒等变形，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式2辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中满足： 与点(a，b)同象限；tan .3研究形如f(x)asin xbcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sin xcos xsin；sin xcos x2sin等.