1、章末检测(一)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.设m，n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn；若，则.其中正确命题的序号是()A. B.和 C.和 D.和解析正确；若，m，则m或m，错；若m，n，则mn，而同平行于同一个平面的两条直线有三种位置关系，错；垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，错.答案A2.在如右图所示的三棱锥ABCD中，VABPQ2，VCAPQ6，VCDPQ12，则VABCD等于()A.20 B.24C.28 D.56解析由，得，所以VPBDQVPCDQ4，所以VABCD2612424.
2、答案B3.如图，l，A、B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A.点A B.点BC.点C但不过点M D.点C和点M解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据公理3可知，点M在与的交线上.同理可知，点C也在与的交线上.答案D4.平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A. B.4 C.4 D.6解析如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，则OO，OM1，OM，即球的半径为，V()34.答案B5.如图所示，将等腰直角ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时BAC60，那么这个二面角大小是()A.90 B.60C.
3、45 D.30解析连接BC，则ABC为等边三角形，设ADa，则BDDCa，BCACa，所以BDC90.答案A6.如图，平面平面，点A，点B，AB与两平面，所成的角分别为45和30.过点A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A，B，若AB12，则AB()A.4 B.6 C.8 D.9解析如图所示，连接AB，AB，由题意得BB，AA，BAB45，ABA30，BBAB，AAAB，AAAB.因为AB12，所以BAABcosABA6，BBABsinBAB6，故AB6.答案B7.已知矩形ABCD，AB1，BC，将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A.存在某个位置，使得直线AC与直线
4、BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析A错误，理由如下：过A作AEBD，垂足为E，连接CE.若直线AC与直线BD垂直，则可得BD平面ACE，于是BDCE，而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直；B正确，理由如下：翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时，平面ABC平面BCD，此时由CDBC可证CD平面ABC，于是有ABCD；C错误，理由如下：若直线AD与直线BC垂直，则由BCCD可知BC平面ACD，于是BCA
5、C，但是ABPA知正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EFCD，又ABCD，EFAB，故AE与BF共面，故错.答案16.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是_.解析由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示，其中PA1，BC2，取BC的中点M，连接AM，MP，则AM2，AMBC，故ACAB，由主视图和左视图可知PA平面ABC，因此可得PCPB，PM，所以三棱锥的表面积为SABCSPABSPACSPBC2211222.答案22三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，
6、O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD.(1)证明：A1O平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1OO1C，又O1C平面B1CD1，A1O 平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD，因为B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1，又A1E，EM平面A1EM
7、，A1EEME，所以B1D1平面A1EM，又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.18.(12分)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M、N分别是AF、BC的中点).(1)求证：MN平面CDEF；(2)求多面体ACDEF的体积.解由题图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，其中ABBCBF2，DECF2，CBF90.(1)证明取BF的中点G，连接MG、NG.由M、N分别为AF、BC的中点，可得NGCF，MGAB，又ABEF，MGEF，MGNGG，EFCFF，平面MNG平面CDEF，MN平面MNG，MN平面CDEF.(2)取DE的中点H，连接AH.因为ADAE，所以AHD
8、E.在直三棱柱ADEBCF中，平面ADE平面CDEF，平面ADE平面CDEFDE，所以AH平面CDEF，所以多面体ACDEF是以AH为高，矩形CDEF为底面的棱锥.AH，S矩形CDEFDEEF4，所以棱锥ACDEF的体积VS矩形CDEFAH.19.(12分)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.证明连接OG并延长交AC于点M，连接QM，QO，OC，由G为AOC的重心，得M为AC中点.由Q为PA中点，得QMPC，又O为AB中点，得OMBC.因为QMMOM，QM平面QMO，MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC
9、，PC平面PBC，所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.20.(12分)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBE.又BEBDB，所以AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)解设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABC
10、D，知EBG为直角三角形，由勾股定理可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.21.(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABCD，AB2，CD3，M为PC上一点，且PM2MC.(1)求证：BM平面PAD；(2)若AD2，PD3，BAD，求三棱锥PADM的体积.解(1)如图，过M作MNCD交PD于点N，连接AN.PM2MC，MNCD.又ABCD，且ABCD，AB綊MN，四边形ABMN为平行四边形，BMAN.又BM平面PAD，AN平面P
11、AD，BM平面PAD.(2)如图，过B作AD的垂线，垂足为E.PD平面ABCD，BE平面ABCD，PDBE.又AD平面PAD，PD平面PAD，ADPDD.BE平面PAD.由(1)知，BM平面PAD，点M到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，即BE.连接BD，在ABD中，ABAD2，BAD，BE，则三棱锥PADM的体积VPADMVMPADSPADBE3.22.(12分)如图(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2).(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B
12、上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？并说明理由.(1)证明D，E分别为AC，AB的中点，DEBC.又DE平面A1CB，BC平面A1CB，DE平面A1CB.(2)证明由已知得ACBC且DEBC，DEAC.DEA1D，DECD，A1DCDD，DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，DEA1F.又A1FCD，DECDD，A1F平面BCDE，BE平面BCDE，A1FBE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又DEBC，DEPQ.平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，A1C平面A1DC，DEA1C.又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，A1CDP，DEDPD，A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C平面DEQ.