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北师大版高中数学必修二《第一章 立体几何初步》章末检测卷(含答案)

1、章末检测(一)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)1.设m,n是两条不同的直线,、是三个不同的平面,给出下列四个命题:若m,n,则mn;若,m,则m;若m,n,则mn;若,则.其中正确命题的序号是()A. B.和 C.和 D.和解析正确;若,m,则m或m,错;若m,n,则mn,而同平行于同一个平面的两条直线有三种位置关系,错;垂直于同一个平面的两个平面也可以相交,错.答案A2.在如图所示的三棱锥ABCD中,VABPQ2,VCAPQ6,VCDPQ12,则VABCD=()A.20 B.24C.28 D.56解析由,得,所以VPBDQVPCDQ4,所以VABCD2612424.答案

2、B3.如图,l,A、B,C,且Cl,直线ABlM,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过()A.点A B.点BC.点C但不过点M D.点C和点M解析AB,MAB,M.又l,Ml,M.根据公理3可知,点M在与的交线上.同理可知,点C也在与的交线上.答案D4.平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为,则此球的体积为()A. B.4 C.4 D.6解析如图,设截面圆的圆心为O,M为截面圆上任一点,则OO,OM1,OM,即球的半径为,V()34.答案B5.如图所示,将等腰直角ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,此时BAC60,那么这个二面角大小是()A.90 B.60C.45

3、 D.30解析连接BC,则ABC为等边三角形,设ADa,则BDDCa,BCACa,所以BDC90.答案A6.如图,平面平面,点A,点B,AB与两平面,所成的角分别为45和30.过点A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A,B,若AB12,则AB()A.4 B.6 C.8 D.9解析如图所示,连接AB,AB,由题意得BB,AA,BAB45,ABA30,BBAB,AAAB,AAAB.因为AB12,所以BAABcosABA6,BBABsinBAB6,故AB6.答案B7.已知矩形ABCD,AB1,BC,将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD

4、垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直解析A错误,理由如下:过A作AEBD,垂足为E,连接CE.若直线AC与直线BD垂直,则可得BD平面ACE,于是BDCE,而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直;B正确,理由如下:翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时,平面ABC平面BCD,此时由CDBC可证CD平面ABC,于是有ABCD;C错误,理由如下:若直线AD与直线BC垂直,则由BCCD可知BC平面ACD,于是BCAC,

5、但是ABPA知正确;由E、F分别是棱PC、PD的中点,可得EFCD,又ABCD,EFAB,故AE与BF共面,故错误.答案16.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是_.解析由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示,其中PA1,BC2,取BC的中点M,连接AM,MP,则AM2,AMBC,故ACAB,由主视图和左视图可知PA平面ABC,因此可得PCPB,PM,所以三棱锥的表面积为SABCSPABSPACSPBC2211222.答案22三、解答题(本大题共6个小题,共70分)17.(10分)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O

6、为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C,又O1C平面B1CD1,A1O 平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM,

7、A1EEME,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.18.(12分)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M、N分别是AF、BC的中点).(1)求证:MN平面CDEF;(2)求多面体ACDEF的体积.解由题图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,其中ABBCBF2,DECF2,CBF90.(1)证明取BF的中点G,连接MG、NG.由M、N分别为AF、BC的中点,可得NGCF,MGAB,又ABEF,MGEF,MGNGG,EFCFF,平面MNG平面CDEF,MN平面MNG,MN平面CDEF.(2)取DE的中点H,连接AH.因为ADAE,所以AHDE

8、.在直三棱柱ADEBCF中,平面ADE平面CDEF,平面ADE平面CDEFDE,所以AH平面CDEF,所以多面体ACDEF是以AH为高,矩形CDEF为底面的棱锥.AH,S矩形CDEFDEEF4,所以棱锥ACDEF的体积VS矩形CDEFAH.19.(12分)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.设Q为PA的中点,G为AOC的重心,求证:QG平面PBC.证明连接OG并延长交AC于点M,连接QM,QO,OC,由G为AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QMPC,又O为AB中点,得OMBC.因为QMMOM,QM平面QMO,MO平面QMO,BCPCC,BC平面PBC,

9、PC平面PBC,所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO,所以QG平面PBC.20.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC120,AEEC,三棱锥EACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.(1)证明因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACBE.又BEBDB,所以AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(2)解设ABx,在菱形ABCD中,由ABC120,可得AGGCx,GBGD.因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EGx.由BE平面ABCD

10、,知EBG为直角三角形,由勾股定理可得BEx.由已知得三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3,故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.21.(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,ABCD,AB2,CD3,M为PC上一点,且PM2MC.(1)求证:BM平面PAD;(2)若AD2,PD3,BAD,求三棱锥PADM的体积.解(1)如图,过M作MNCD交PD于点N,连接AN.PM2MC,MNCD.又ABCD,且ABCD,AB綊MN,四边形ABMN为平行四边形,BMAN.又BM平面PAD,AN平面PAD

11、,BM平面PAD.(2)如图,过B作AD的垂线,垂足为E.PD平面ABCD,BE平面ABCD,PDBE.又AD平面PAD,PD平面PAD,ADPDD.BE平面PAD.由(1)知BM平面PAD,点M到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离,即BE.连接BD,在ABD中,ABAD2,BAD,BE,则三棱锥PADM的体积VPADMVMPADSPADBE3.22.(12分)如图(1),在RtABC中, C90,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图(2).(1)求证:DE平面A1CB;(2)求证:A1FBE;(3)线段A1B上是

12、否存在点Q,使A1C平面DEQ?并说明理由.(1)证明D,E分别为AC,AB的中点,DEBC.又DE平面A1CB,BC平面A1CB,DE平面A1CB.(2)证明由已知得ACBC且DEBC,DEAC.DEA1D,DECD,A1DCDD,DE平面A1DC.而A1F平面A1DC,DEA1F.又A1FCD,DECDD,A1F平面BCDE,BE平面BCDE,A1FBE.(3)解线段A1B上存在点Q,使A1C平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQBC.又DEBC,DEPQ.平面DEQ即为平面DEP.由(2)知,DE平面A1DC,A1C平面A1DC,DEA1C.又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,A1CDP,DEDPD,A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点),使得A1C平面DEQ.