1、6垂直关系6.1垂直关系的判定基础过关1.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在四面体AEFH中必有()A.HGAEF所在平面B.AGEFH所在平面C.HFAEF所在平面D.AHEFH所在平面解析ADDF，ABBE，AHHF，AHHE.又EHFHH，AH面EFH.答案D2.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PAAC，则二面角PBCA的大小为()A.60 B.30C.45 D.15解析由条件得PABC，ACBC，又PAACC，
2、BC平面PAC，BCPC，PCA为二面角PBCA的平面角.在RtPAC中，由PAAC得PCA45，故选C.答案C3.在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A.BC面PDF B.DF面PAEC.面PDF面ABC D.面PAE面ABC解析如图所示，BCDF，BC平面PDF，A正确.由BCPE，BCAE，PEAEE，BC平面PAE，DF平面PAE，B正确.DF平面ABC，平面ABC平面PAE，D正确.答案C4.已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则二面角DBCA的大小为_.解析如图，由题意知ABACBDCD，BCAD2.取B
3、C的中点E，连接DE，AE，则AEBC，DEBC，所以DEA为所求二面角的平面角.易得AEDE，又AD2，所以DEA90.答案905.在RtABC中，D是斜边AB的中点，AC6，BC8，EC平面ABC，且EC12，则ED_.解析如图，在RtABC中，CDAB.因为AC6，BC8，所以AB10.所以CD5.因为EC平面ABC，CD平面ABC，所以ECCD.所以ED13.答案136.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACAA1，D是棱AA1的中点.证明：平面BDC1平面BDC.证明由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A
4、1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.7.如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MBNC，MNMB.(1)求证：平面AMB平面DNC；(2)若MCCB，求证：BCAC.证明(1)因为MBNC，MB平面DNC，NC平面DNC，所以MB平面DNC.因为四边形AMND为矩形，所以MADN.又MA平面DNC，DN平面DNC.所以MA平面DNC.又MAMBM，且MA，MB平面AMB，所以平面AMB平面DNC.(2)因为四边形AMND是矩形，所以AMM
5、N.因为平面AMND平面MBCN，且平面AMND平面MBCNMN，所以AM平面MBCN.因为BC平面MBCN，所以AMBC.因为MCBC，MCAMM，所以BC平面AMC.因为AC平面AMC，所以BCAC.能力提升8.已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则()A.123 B.321C.132 D.231解析由题意知四棱锥SABCD为正四棱锥，如图，连接AC，BD，记ACBDO，连接SO，则SO平面ABCD，取AB的中点M，连接SM，OM，OE，易得ABSM，则2SE
6、O，3SMO，易知32.再根据最小角定理知，31，所以231，故选D.答案D9.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A. B. C. D.解析记该正方体为ABCDABCD，正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，即共点的三条棱AA，AB，AD与平面所成的角都相等.如图，连接AB，AD，BD，因为三棱锥AABD是正三棱锥，所以AA，AB，AD与平面ABD所成的角都相等.分别取CD，BC，BB，AB，AD，DD的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平
7、面ABD平行，即截面EFGHIJ为平面截正方体所得最大截面.又EFFGGHIHIJJE，所以该正六边形的面积为6，所以截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A.答案A10.如图，二面角l的大小是60，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是_.解析如图，作AO于O，ACl于C，连接OB、OC，则OCl，设AB与所成的角为，则ABO，由图得sin sin 30sin 60.答案11.三棱锥PABC中，PAPBPC，AB10，BC8，CA6，则二面角PACB的大小为_.解析由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点.取AC的中点Q，则OQBC.易得ABC是直角三
8、角形，且ACB90，AQO90，即OQAC.又PAPC，PQAC，PQO即是二面角PACB的平面角.PA，AQAC3，PQ8.又OQBC4，cosPQO，PQO60.答案6012.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值.解取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1OA1C1，又BA1BC1，O为A1C1的中点，所以BOA1C1，所以BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角.因为BB1平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1.设正方体的棱长为a，则OB1a，在RtBB1O中，tanBOB1，所以二面角BA1C1B1的正切值为.创
9、新突破13. 如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点.(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.证明(1)法一如图所示，连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，AC2DF.G为AC的中点，DFGC，且DFGC，四边形CFDG是平行四边形，DMMC.BHHC，MHBD.又BD平面FGH，MH平面FGH，BD平面FGH.法二在三棱台DEFABC中，AB2DE，H为BC的中点，BHEF，且BHEF，四边形BHFE是平行四边形，BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，GHAB.又GHHFH，ABBEB，平面FGH平面ABED.BD平面ABED，BD平面FGH.(2)G，H分别为AC，BC的中点，GHAB.ABBC，GHBC.又H为BC的中点，EFHC，EFHC，EFCH是平行四边形，CFHE.CFBC，HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，BC平面EGH.又BC平面BCD，平面BCD平面EGH.