1、4.2空间图形的公理(二)基础过关1.已知空间两个角，与的两边对应平行，且60，则=()A.60 B.120C.30 D.60或120解析由等角定理知与相等或互补，故60或120.答案D2.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A.梯形 B.矩形C.平行四边形 D.正方形解析如图，因为BDAC，且BDAC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC.所以FGHG，且FGHG.所以四边形EFGH为正方形.答案D3.下列四个结论中假命题的个数是()垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；若直线a，
2、b，c满足ab，bc，则ac；若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.A.1 B.2 C.3 D.4解析均为假命题.可举反例，如a、b、c三线两两垂直.如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交.答案B4.已知a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线；若a，b与c成等角，则ab.上述命题中正确的是_(只填序号).解析由公理4知正确；当a与
3、b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故不正确.答案5.已知在正方体ABCDABCD中：(1)BC与CD所成的角为_；(2)AD与BC所成的角为_.解析如图，连接BA，则BACD，连接AC，则ABC就是BC与CD所成的角.由ABC为正三角形，知ABC60，由ADBC，知AD与BC所成的角就是CBC.易知CBC45.答案(1)60(2)456.如图，三棱锥PABC中，E是PC上异于点P的点.求证：AE与PB是异面直线.证明假设AE与PB不是异面直线，设A
4、E与PB都在平面内，因为P，E，所以PE.又因为CPE，所以C.所以点P，A，B，C都在平面内.这与P，A，B，C不共面(PABC是三棱锥)矛盾.于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线.7.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG为平行四边形.(2)解由BE綊AF，G为FA的中点知，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知
5、BG綊CH，EFCH，EF与CH共面.又DFH，C、D、F、E四点共面.能力提升8.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30角的异面直线()A.有无数条 B.有两条C.至多有两条 D.有一条解析我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P作直线ll，以l为轴，与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角.答案A9.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的
6、，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，ABC为正三角形，所以AEBC，D错误.综上所述，故选C.答案C10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论中正确的序号为_.解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确.答案11.如图所示，G，H，
7、M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填序号).解析中，G，M是中点，AG綊BM，GM綊AB綊HN，GHMN，即G，H，M，N四点共面；中，H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；中，G，M是中点，GM綊CD，GM綊HN，H，G，M，N四点共面；中，同，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面.答案12.如图所示，等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解取AC的中点F，连接EF，BF，在A
8、CD中，E，F分别是AD，AC的中点，EFCD，BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).在RtABC中，BC，ABAC，ABAC1，在RtEAB中，AB1，AEAD，BE.在RtAEF中，AFAC，AE，EF.在RtABF中，AB1，AF，BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB，异面直线BE与CD所成角的余弦值为.创新突破13. 如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AEEBAHHDm，CFFBCGGDn.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若ACBD，试证明：EGFH.(1)证明因为AEEBAHHD，所以EHBD.又因为CFFBCGGD，所以FGDB.所以EHFG.所以E，F，G，H四点共面.(2)解当且仅当EHFG，EHFG时，四边形EFGH为平行四边形.因为，所以EHBD.同理FGBD，由EHFG，得mn.故当mn时，四边形EFGH为平行四边形.(3)证明当mn时，AEEBCFFB，所以EFAC.又因为ACBD，而FEH是AC与BD所成的角，所以FEH90，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EGFH.