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2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(一)课后作业(含答案)

1、2.3直线与圆、圆与圆的位置关系(一)基础过关1.已知圆C与直线xy0及xy40都相切,圆心在直线xy0上,则圆C的方程为()A.(x1)2(y1)22 B.(x1)2(y1)22C.(x1)2(y1)22 D.(x1)2(y1)22解析由条件知xy0与xy40都与圆相切,且平行,所以圆C的圆心C在直线xy20上.由得圆心C(1,1).又因为两平行线间距离d2,所以所求圆的半径长r,故圆C的方程为(x1)2(y1)22.答案B2.在圆x2y22x6y0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.5 B.10 C.15 D.20解析圆的方程化为标准形式为

2、(x1)2(y3)210,由圆的性质可知ACBD,最长弦|AC|2,最短弦BD恰以E(0,1)为中点.设点F为圆心,则F(1,3).故|EF|,|BD|22,S四边形ABCD|AC|BD|10.答案B3.一条光线从点(2,3)射出,经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.或 B.或C.或 D.或解析由已知得点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3),由入射光线与反射光线的对称性,知反射光线一定过点(2,3).设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y3k(x2),即kxy2k30.由反射光线与圆相切,则有d1,解得k或k,故选D.答案D4.已

3、知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A,B两点,且ABC为等边三角形,则实数a_.解析圆心C(1,a)到直线axy20的距离为.因为ABC为等边三角形,所以|AB|BC|2,所以()21222,解得a4.答案45.过原点的直线与圆x2y22x4y40相交所得弦的长为2,则该直线的方程为_.解析设所求直线方程为ykx,即kxy0.由于直线kxy0被圆截得的弦长等于2,圆的半径是1,因此圆心到直线的距离等于 0,即圆心(1,2)位于直线kxy0上.于是有k20,即k2,因此所求直线方程是2xy0.答案2xy06.已知直线l过点P(1,1),且与直线l1:xy30和l2:2xy

4、60分别交于点A,B,若线段AB被点P平分,求:(1)直线l的方程;(2)以原点O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程.解(1)依题意可设A(m,n),B(2m,2n),则即解得A(1,2).又l过点P(1,1),所以直线l的方程为x2y30.(2)设圆的半径长为r,则r2d2,其中d为弦心距,d,可得r25,故所求圆的方程为x2y25.7.已知圆C:(x1)2(y2)225,直线l:(2m1)x(m1)y7m40(mR).(1)求证不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.(1)证明因为l的方程为(xy4)m(2xy7)0(mR),所以解得即l恒过定

5、点A(3,1).因为圆心为C(1,2),|AC|5(半径),所以点A在圆C内,从而直线l与圆C恒交于两点.(2)解由题意可知弦长最小时,lAC.因为kAC,所以l的斜率为2.又l过点A(3,1),所以l的方程为2xy50.能力提升8.直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M,N两点,若|MN|2,则k的取值范围是()A. B.0,)C. D.解析设圆心为C,弦MN的中点为A,当|MN|2时,|AC|1.当|MN|2时,圆心C到直线ykx3的距离d1.1,(3k1)2k21.由二次函数的图像可得k0.答案A9.圆x2y24x6y120过点(1,0)的最大弦长为m,最小弦长为n,则mn=()

6、A.102 B.5C.103 D.5解析圆的方程x2y24x6y120化为标准方程为(x2)2(y3)225.所以圆心为(2,3),半径长为5.因为(12)2(03)21825,所以点(1,0)在已知圆的内部,则最大弦长即为圆的直径,即m10.当(1,0)为弦的中点时,此时弦长最小.弦心距d3,所以最小弦长为222,所以mn102.答案A10.由直线yx1上的一点向圆x26xy280引切线,则切线长的最小值为_.解析切线长的最小值在直线yx1上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距离为d2,圆的半径为1,故切线长的最小值为.答案11.若直线l:yxb与曲线C:y有两个公共点,则b的

7、取值范围是_.解析如图所示,y是一个以原点为圆心,长度1为半径的半圆,yxb是一个斜率为1的直线,要使直线与半圆有两个交点,连接A(1,0)和B(0,1),直线l必在AB以上的半圆内平移,直到直线与半圆相切,则可求出两个临界位置直线l的b值,当直线l与AB重合时,b1;当直线l与半圆相切时,b.所以b的取值范围是1,).答案1,)12.已知圆C:x2(y1)25,直线l:mxy1m0.(1)求证:对任意mR,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)设l与圆C交于A,B两点,若|AB|,求直线l的倾斜角.(1)证明由已知直线l:y1m(x1),知直线l恒过定点P(1,1),因为12(11)215,

8、所以P点在圆C内,所以直线l与圆C总有两个不同的交点.(2)解设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组消去y得(m21)x22m2xm250,则x1,x2是一元二次方程的两个实根,因为|AB|x1x2|,所以,所以m23,m,所以直线l的倾斜角为60或120.创新突破13.已知圆C:x2y22x4y40.问是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB满足:以AB为直径的圆经过原点.解假设存在且设l为yxm,圆C化为标准方程为(x1)2(y2)29,圆心C(1,2).解方程组得AB的中点N的坐标N(,),由于以AB为直径的圆过原点,所以|AN|ON|.又|AN|,|ON|.所以9,解得m1或m4.所以存在直线l,方程为xy10和xy40,并可以检验,这时l与圆C是相交于两点的.