1、2.3直线与圆、圆与圆的位置关系(一)基础过关1.已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A.(x1)2(y1)22 B.(x1)2(y1)22C.(x1)2(y1)22 D.(x1)2(y1)22解析由条件知xy0与xy40都与圆相切，且平行，所以圆C的圆心C在直线xy20上.由得圆心C(1，1).又因为两平行线间距离d2，所以所求圆的半径长r，故圆C的方程为(x1)2(y1)22.答案B2.在圆x2y22x6y0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A.5 B.10 C.15 D.20解析圆的方程化为标准形式为
2、(x1)2(y3)210，由圆的性质可知ACBD，最长弦|AC|2，最短弦BD恰以E(0，1)为中点.设点F为圆心，则F(1，3).故|EF|，|BD|22，S四边形ABCD|AC|BD|10.答案B3.一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A.或 B.或C.或 D.或解析由已知得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有d1，解得k或k，故选D.答案D4.已
3、知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a_.解析圆心C(1，a)到直线axy20的距离为.因为ABC为等边三角形，所以|AB|BC|2，所以()21222，解得a4.答案45.过原点的直线与圆x2y22x4y40相交所得弦的长为2，则该直线的方程为_.解析设所求直线方程为ykx，即kxy0.由于直线kxy0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于 0，即圆心(1，2)位于直线kxy0上.于是有k20，即k2，因此所求直线方程是2xy0.答案2xy06.已知直线l过点P(1，1)，且与直线l1：xy30和l2：2xy
4、60分别交于点A，B，若线段AB被点P平分，求：(1)直线l的方程；(2)以原点O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程.解(1)依题意可设A(m，n)，B(2m，2n)，则即解得A(1，2).又l过点P(1，1)，所以直线l的方程为x2y30.(2)设圆的半径长为r，则r2d2，其中d为弦心距，d，可得r25，故所求圆的方程为x2y25.7.已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR).(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.(1)证明因为l的方程为(xy4)m(2xy7)0(mR)，所以解得即l恒过定
5、点A(3，1).因为圆心为C(1，2)，|AC|5(半径)，所以点A在圆C内，从而直线l与圆C恒交于两点.(2)解由题意可知弦长最小时，lAC.因为kAC，所以l的斜率为2.又l过点A(3，1)，所以l的方程为2xy50.能力提升8.直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是()A. B.0，)C. D.解析设圆心为C，弦MN的中点为A，当|MN|2时，|AC|1.当|MN|2时，圆心C到直线ykx3的距离d1.1，(3k1)2k21.由二次函数的图像可得k0.答案A9.圆x2y24x6y120过点(1，0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则mn=()
6、A.102 B.5C.103 D.5解析圆的方程x2y24x6y120化为标准方程为(x2)2(y3)225.所以圆心为(2，3)，半径长为5.因为(12)2(03)21825，所以点(1，0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m10.当(1，0)为弦的中点时，此时弦长最小.弦心距d3，所以最小弦长为222，所以mn102.答案A10.由直线yx1上的一点向圆x26xy280引切线，则切线长的最小值为_.解析切线长的最小值在直线yx1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d2，圆的半径为1，故切线长的最小值为.答案11.若直线l：yxb与曲线C：y有两个公共点，则b的
7、取值范围是_.解析如图所示，y是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，yxb是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A(1，0)和B(0，1)，直线l必在AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l的b值，当直线l与AB重合时，b1；当直线l与半圆相切时，b.所以b的取值范围是1，).答案1，)12.已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy1m0.(1)求证：对任意mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)设l与圆C交于A，B两点，若|AB|，求直线l的倾斜角.(1)证明由已知直线l：y1m(x1)，知直线l恒过定点P(1，1)，因为12(11)215，
8、所以P点在圆C内，所以直线l与圆C总有两个不同的交点.(2)解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y得(m21)x22m2xm250，则x1，x2是一元二次方程的两个实根，因为|AB|x1x2|，所以，所以m23，m，所以直线l的倾斜角为60或120.创新突破13.已知圆C：x2y22x4y40.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点.解假设存在且设l为yxm，圆C化为标准方程为(x1)2(y2)29，圆心C(1，2).解方程组得AB的中点N的坐标N(，)，由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|ON|.又|AN|，|ON|.所以9，解得m1或m4.所以存在直线l，方程为xy10和xy40，并可以检验，这时l与圆C是相交于两点的.