1、3.3空间两点间的距离公式一、选择题1.点A(3，4,5)到z轴的距离d等于()A.5 B. C. D.5答案A2.点A在z轴上，它到点(2，1)的距离是，则点A的坐标为()A.(0,0，1) B.(0,1,1)C.(0,0,1) D.(0,0,13)考点空间两点间的距离公式题点空间两点间的距离的计算答案C解析设A(0,0，c)，则，解得c1.所以点A的坐标为(0,0,1).3.设点B是点A(2，3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点的距离为()A.10 B. C. D.38考点空间两点间的距离公式题点空间两点间的距离的计算答案A解析点B是点A(2，3,5)关于xOy平面的对称点，点B的
2、横坐标和纵坐标与点A相同，竖坐标相反，B(2，3，5)，AB的长度是5(5)10.故选A.4.如图所示，正方体的棱长为1，M是所在棱的中点，N是所在棱的四分之一分点，则M，N之间的距离为()A. B. C. D.考点空间两点间的距离公式题点空间两点间的距离的计算答案B解析由题意知M，N，|MN|21，|MN|.5.在空间直角坐标系中，已知三点A(1,0,0)，B(1,1,1)，C(0,1,1)，则ABC是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案A解析易知|AB|，|AC|，|BC|1，则|AB|2|BC|2|AC|2，且|AB|AC|BC|，ABC是直角三角形.
3、6.已知ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(5,2,1)，C，则它在yOz平面上的射影图形的面积是()A.4 B.3 C.2 D.1考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离的综合应用答案D解析ABC的三个顶点A，B，C在yOz平面上的射影点的坐标分别为(0,1,1)，(0,2,1)，(0,2,3)，它在yOz平面上是一个直角三角形，容易求出它的面积为1.7.一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是()A. B.C. D.考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离的综合应用答案D解析点P(1,1,1)关于平面x
4、Oy的对称点M的坐标为(1,1，1).一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是.二、填空题8.在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且点M到点A与到点B的距离相等，则点M的坐标为_.考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标答案(0，1,0)解析设点M的坐标为(0，y,0)，由|MA|MB|，得(01)2(y0)2(02)2(01)2(y3)2(01)2，整理得6y60，y1，即点M的坐标为(0，1,0).9.如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为a，P，Q分别是DB，BC的中点，则|PQ|_
5、.考点空间两点间的距离公式题点空间两点间的距离的计算答案解析以D为坐标原点，DA，DC，DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意得，B(a，a,0)，D(0,0，a)，所以P.又C(0，a,0)，B(a，a，a)，所以Q.所以|PQ| .10.已知正方体的六个面中，不在同一平面的两顶点的坐标分别为A(1,2，1)，B(3，2,3)，则正方体的体积是_.考点空间两点间的距离公式题点空间两点间的距离的计算答案64解析|AB|4.又因为A(1,2，1)，B(3，2,3)不在同一平面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长.设正方体的边长为a，则a4，即a4，所以正方体的体
6、积是64.11.如图，在空间直角坐标系中，|BC|2，原点O是BC的中点，点A，点D在平面yOz上，且BDC90，DCB30，则三棱锥DABC的体积为_.考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离的综合应用答案解析因为BDC90，DCB30，|BC|2.所以|BD|1，|CD|BC|cos 30，所以SBCD|BD|CD|.因为A，即点A到BC的距离为，所以三棱锥DABC的体积为V.三、解答题12.在空间直角坐标系中，(1)在z轴上求一点P，使得它到点A(4,5,6)与到点B(7,3,11)的距离相等；(2)已知点M到坐标原点的距离等于2，且它的坐标分量相等，求该点的坐标.考点求空间中
7、点的坐标题点求空间中点的坐标解(1)设P点坐标为(0,0，c)，因为|PA|PB|，所以，所以c，所以P点坐标为.(2)设M点坐标为(a，a，a)，由2.得a24，所以a2，所以M点坐标为(2,2,2)或(2，2，2).13.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，3)，试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标.考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离的综合应用解(1)假设在y轴上存在点M满足|MA|MB|，设M(0，y,0)，则有，由于此式对任意yR恒成立，即y轴上所有点均满足条件
8、|MA|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使MAB为等边三角形.由(1)可知，y轴上任一点都满足|MA|MB|，只要|MA|AB|就可以使得MAB是等边三角形.|MA|，|AB|，解得y或y.故y轴上存在点M使MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，0)或(0，0).14.点P(x，y，z)的坐标满足x2y2z21，点A(2,3，)，则|PA|的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.5考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离的最值问题答案B解析x2y2z21在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面，所以当O，P，A三点共线且P位于O，A之间时，|PA|最小，此时|PA|OA|
9、OP|OA|11413.15.如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a).求：(1)MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小.考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离的综合应用解(1)平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，ABBE，BE平面ABCD，AB，BC，BE两两垂直.以B为坐标原点，以BA，BE，BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M，N.|MN|(0a).(2)|MN|(0a)，当a时，|MN|min.即当a时，MN的长最小.