1、6垂直关系6.1垂直关系的判定学习目标1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题.知识点一直线与平面垂直的定义定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直记法l有关概念直线l叫作平面的垂线，平面叫作直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫作垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直知识点二直线和平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b，abAl图形语言知识点三二面角(1)定
2、义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.(2)相关概念：这条直线叫作二面角的棱.两个半平面叫作二面角的面.(3)二面角的记法以直线AB为棱，半平面，为面的二面角，记作二面角面AB.(4)二面角的平面角：若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB.知识点四平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的概念定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.画法：记法：.(2)判定定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言l，l1.若直线l平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.()2.若直线l
3、与平面内的无数条直线垂直，则l.()3.若l，则过l有无数个平面与垂直.()4.两垂直平面的二面角的平面角大小为90.()题型一线面垂直的定义及判定定理的理解例1下列命题中，正确的序号是_.若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直；过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案解析当直线l与平面内的无数条直线垂直时，l与不一定垂直，所以不正确；当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面垂直，所以不正确；当l与不垂直时
4、，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以正确.反思感悟(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.跟踪训练1(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是_.(填序号)考点直线与平面垂直的判定题点
5、判定直线与平面垂直答案(1)C(2)解析(1)OAOB，OAOC，OBOCO，OB，OC平面OBC，OA平面OBC.(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.题型二直线与平面垂直的判定例2如图，在三棱锥SABC中，ABC90，D是AC的中点，且SASBSC.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADBD，由已知SASB，
6、所以ADSBDS，所以SDBD.又ACBDD，AC，BD平面ABC，所以SD平面ABC.(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知SDBD.又因为SDACD，SD，AC平面SAC，所以BD平面SAC.反思感悟(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；根据判定定理得出结论.(2)平行转化法(利用推论)：ab，ab；，aa.跟踪训练2如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周上任意一点，ANPM，N为垂足.(1)求证：AN平面PBM.(2)若AQPB，垂足为Q，求证：NQPB.证明
7、(1)AB为O的直径，AMBM.又PA平面ABM，PABM.又PAAMA，BM平面PAM.又AN平面PAM，BMAN.又ANPM，且BMPMM，AN平面PBM.(2)由(1)知AN平面PBM，PB平面PBM，ANPB.又AQPB，ANAQA，PB平面ANQ.又NQ平面ANQ，PBNQ.题型三平面与平面垂直的判定例3在边长为a的菱形ABCD中，ABC60，PC平面ABCD，求证：平面PDB平面PAC.证明PC平面ABCD，BD平面ABCD，PCBD.四边形ABCD为菱形，ACBD，又PCACC，BD平面PAC.BD平面PBD，平面PDB平面PAC.反思感悟(1)证明平面与平面垂直的方法：利用定义
8、：证明二面角的平面角为直角；利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.跟踪训练3已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，求证：平面AFC1平面ACC1A1.证明延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.连接BD.由四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，可知AA1平面ABCD，又BD平面
9、ABCD，A1ABD.四边形ABCD为菱形，ACBD.又ACA1AA，AC，A1A平面ACC1A1，BD平面ACC1A1.BFCC1，F为NC1的中点，B为NC的中点.在四边形DANB中，DABN且DABN，四边形DANB为平行四边形，NABD，NA平面ACC1A1.又NA平面AFC1，平面AFC1平面ACC1A1.题型四二面角的求法例4(1)如图，在正方体ABCDABCD中：二面角DABD的大小为_.二面角AABD的大小为_.答案4590解析在正方体ABCDABCD中，AB平面AD，所以ABAD，ABAD，因此DAD为二面角DABD的平面角.在RtDDA中，DAD45，所以二面角DABD的大
10、小为45.因为AB平面AD，所以ABAD，ABAA，因此AAD为二面角AABD的平面角，又AAD90，所以二面角AABD的大小为90.(2)如图，已知RtABC，斜边BC，点A，AO，O为垂足，ABO30，ACO45，求二面角ABCO的大小.解如图，在平面内，过O作ODBC，垂足为点D，连接AD，设COa.AO，BC，AOBC.又AOODO，BC平面AOD.而AD平面AOD，ADBC.ADO是二面角ABCO的平面角.由AO，OB，OC，知AOOB，AOOC.ABO30，ACO45，COa，AOa，ACa，AB2a.在RtABC中，BAC90，BCa，ADa.在RtAOD中，sinADO.ADO
11、60，即二面角ABCO的大小是60.反思感悟(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角.(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法.跟踪训练4如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上的一点，且PAAC，求二面角PBCA的大小.考点二面角题点求二面角的大小解由已知PA平面ABC，AC，BC平面ABC，PABC，PAAC.AB是O的直径，且点C在圆周上，ACBC.又PAACA，PA，
12、AC平面PAC，BC平面PAC.又PC平面PAC，PCBC.又BC是二面角PBCA的棱，PCA是二面角PBCA的平面角.由PAAC且PAAC知PAC是等腰直角三角形，PCA45，即二面角PBCA的大小是45.图形的折叠问题典例如图所示，在矩形ABCD中，已知ABAD，E是AD的中点，沿BE将ABE折起至ABE的位置，使ACAD，求证：平面ABE平面BCDE.证明取BE的中点N，CD的中点M，ABAD，E是AD的中点，ABAE，即ABAE.ANBE.ACAD，AMCD.在四边形BCDE中，CDMN，又MNAMM，CD平面AMN，CDAN.DEBC且DEBC，BE必与CD相交，又ANBE，ANCD
13、，AN平面BCDE.又AN平面ABE，平面ABE平面BCDE.素养评析(1)折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题.解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量.(2)折叠问题要借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，理解所要解决的数学问题，对于平面与平面垂直问题的证明，要有理有据，有逻辑地表达出来，所以，本题充分体现直观想象与逻辑推理的数学核心素养.1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A.有无数个 B.至多一个C.有一个或无数个 D.不存在考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案B解析若异面直线m，n垂直，则符合要求的平
14、面有一个，否则不存在.2.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A.，且m B.mn，且nC.mn，且n D.mn，且n考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案B解析A中，由，且m，知m；B中，由n，知n垂直于平面内的任意直线，再由mn，知m也垂直于内的任意直线，所以m，符合题意；C，D中，m或m或m与相交，不符合题意，故选B.3.如图，l，点A，C，点B，且BA，BC，那么直线l与直线AC的关系是()A.异面 B.平行C.垂直 D.不确定考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案C解析BA，l，l，BAl.同理BCl，又
15、BABCB，l平面ABC.AC平面ABC，lAC.4.三棱锥PABC中，PAPBPC，AB10，BC8，CA6，则二面角PACB的大小为_.考点二面角题点看图索角答案60解析由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点.取AC的中点Q，连接OQ，则OQBC.由题意可得ABC是直角三角形，且ACB90，AQO90，即OQAC.又PAPC，PQAC，PQO即是二面角PACB的平面角.PA，AQAC3，PQ8.又OQBC4，cosPQO，PQO60，即二面角PACB的大小为60.5.如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，且E，F分别是AB，BD的中点.求证：平面EFC平面BCD.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明E，F分别是AB，BD的中点，EFAD，又ADBD，EFBD.CBCD，F是BD的中点，CFBD.又EFCFF，EF，CF平面EFC，BD平面EFC.又BD平面BCD，平面EFC平面BCD.1.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：若ab，a，则b；若，a，则a.2.证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.3.求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.