1、4.2空间图形的公理(二)学习目标1.掌握公理4及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.知识点一平行公理(公理4)1.文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行.2.符号表示：ac.知识点二空间两直线的位置关系异面直线的概念(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法定义法；两直线既不平行也不相交.(4)空间两条直线的三种位置关系从是否有公共点的角度来分：从是否共面的角度来分：知识点三等角定理空间中
2、，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.知识点四异面直线所成的角定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线aa，bb结论我们把a与b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角范围记异面直线a与b所成的角为，则090特殊情况当90时，a与b互相垂直，记作：ab1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.()2.两直线若不是异面直线，则必相交或平行.()3.两条直线无公共点，则这两条直线平行.()4.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.()题型一平行公理和等角定理的应用例1在正方体ABCDABCD中，E，F，E，F分别是AB，BC，AB，BC的中点，求证：E
3、EFF.考点平行公理题点判断、证明线线平行证明因为E，E分别是AB，AB的中点，所以BEBE，且BEBE.所以四边形EBBE是平行四边形，所以EEBB，同理可证FFBB.所以EEFF.引申探究1.在本例中，若M，N分别是AD，CD的中点，求证：四边形ACNM是梯形.证明在正方体中，MNAC，且MNAC，因为ACAC，且ACAC，所以MNAC，且MNAC.又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形.2.若将本例变为已知E，E分别是正方体ABCDABCD的棱AD，AD的中点.求证：BECBEC.证明如图所示，连接EE.因为E，E分别是AD，AD的中点，所以AEAE，且AEAE.所以四边形AEEA是
4、平行四边形.所以AAEE，且AAEE.又因为AABB，且AABB，所以EEBB，且EEBB，所以四边形BEEB是平行四边形，所以BEBE.同理可证CECE.又BEC与BEC的两边方向相同，所以BECBEC.反思感悟(1)空间两条直线平行的证明：定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能.跟踪训练1(1)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1中点.求证：BGCFD1E.证明因为E，F，G
5、分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CEGD1，CEGD1，BFGD1，BFGD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.所以GCD1E，GBD1F.因为BGC与FD1E的两边方向相同，所以BGCFD1E.(2)已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证，BFD1E是平行四边形.证明如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.因为F为CC1的中点，所以BGFC1，且BGFC1.所以四边形BFC1G是平行四边形.所以BFGC1，BFGC1，又因为EGA1B1，EGA1B1，A1B1C1D1，A1B1C1D1，所以EGC1D1，EGC
6、1D1.所以四边形EGC1D1是平行四边形.所以ED1GC1，ED1GC1，所以BFED1，BFED1，所以四边形BFD1E是平行四边形.题型二两直线位置关系的判定例2如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_.答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面解析(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1BC，A1D1BC，四边形A1BCD1为平行四边形，A1BD1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.(
7、3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.反思感悟(1)判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断.(2)判定两条直线是异面直线的方法定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内.重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A，B，l，BlAB与l是异面直线(如图).跟踪训练2(1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行 B.异面C.相交 D.平行、相交或异面考点空间中直线与直线的位置关系题点空间
8、中直线与直线的位置关系判定答案D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCDABCD中，AD所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCDABCD中的BC，CC，DD.故a和c可以平行、相交或异面.(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为()A.1 B.2 C.3 D.4考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案C解析还原的正方体如图所示.是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.求异面直线所成的角典例如图，在正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
9、(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.解(1)CGFB，EBF是异面直线BE与CG所成的角.在RtEFB中，EFFB，EBF45，BE与CG所成的角为45.(2)连接FH，FBAE，BFAE，AEHD，AEHD，四边形FBDH是平行四边形，BDFH，HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，则AFH是等边三角形，又O是AH的中点，HFO30，FO与BD所成的角为30.素养评析(1)求两异面直线所成的角的三个步骤作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；证：证明作出的角就是要求的角；计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直
10、线所成角范围是090.(2)求异面直线所成的角，关键是找出异面直线所成的角，这就需要借助于几何图形，探索和论述某角是异面直线所成的角，进而求解，所以本例充分体现了逻辑推理与数学运算的数学核心素养.1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面 B.相交或异面C.异面 D.相交考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案B解析如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.2.若OAOA，OBOB，且AOB130，则AOB为()A.130 B.50C.130或50 D
11、.不能确定考点空间等角定理题点利用等角定理求角答案C解析根据定理，AOB与AOB相等或互补，即AOB130或AOB50.3.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面 B.平行C.异面 D.平行或异面考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案D解析若直线a和b共面，则由题意可知ab；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.4.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A.3条 B.4条 C.5条 D.6条答案B解析EFB1C1BCADA1D1.5.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各
12、边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是_.考点平行公理题点判断、证明线线平行答案矩形解析如图所示.点M，N，P，Q分别是四条边的中点，MNAC，且MNAC，PQAC且PQAC，即MNPQ且MNPQ，四边形MNPQ是平行四边形.又BDMQ，ACBD，MNMQ，平行四边形MNPQ是矩形.1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).