1、7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧.知识点一柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱、棱柱V柱体ShS柱体底面积，h柱体的高锥体圆锥、棱锥V锥体ShS锥体底面积，h锥体的高台体圆台、棱台V台体(S上S下)hS上、S下台体的上、下底面面积，h高知识点二柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系VShV(SS)hVSh.1.锥体的体积等于底面面积与高之积.()2.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()题型一多面体的体积例1如图是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1，D是棱B
2、C的中点.正三棱柱的主视图如图，求正三棱柱ABCA1B1C1的体积.解由主视图可知，在正三棱柱中，AD，AA13，从而在等边三角形ABC中，AB2，所以正三棱柱的体积VShBCADAA1233.反思感悟求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解.(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.跟踪训练1一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.
3、 B. C. D.答案D解析如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，截去三棱锥A1AB1D1.设正方体的棱长为a，则a3a3，故剩余几何体的体积为a3a3a3，所以比值为，故选D.题型二旋转体的体积例2(1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案解析由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m，圆锥的高为1 m，圆柱的高为2 m，因此该几何体的体积V2121122(m3).(2)体积为52 cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为()A.54 cm3 B.54 cm3 C.58 c
4、m3 D.58 cm3答案A解析由底面面积之比为19知，体积之比为127.截得的小圆锥与圆台体积比为126，小圆锥的体积为2 cm3，故原来圆锥的体积为54 cm3，故选A.反思感悟要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答.(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解.(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键.跟踪训练2设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60，轴截面中的一条对角
5、线垂直于腰，则圆台的体积为_.答案21解析设上，下底面半径，母线长分别为r，R，l.如图，作A1DAB于点D，则A1D3，A1AB60，又BA1A90，BA1D60，AD，Rr.BDA1Dtan 603，Rr3. R2，r，而h3.V圆台h(R2Rrr2)3(2)22()221.圆台的体积为21.等积变换法求几何体的体积典例如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1D1EF的体积.考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积解由题可知 EA1A1D1a2，又三棱锥FA1D1E的高为CDa，aa2a3，a3.引申探究本例中条件改为点F为CC
6、1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A1EBFD1的体积.解因为EBBFFD1D1Ea，D1FEB，所以四边形EBFD1是菱形.连接EF，则EFBFED1.因为三棱锥A1EFB与三棱锥A1FED1的高相等，所以又因为EA1ABa2，所以a3，所以a3.1.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是()A.186 B.62C.24 D.18答案B解析V(24)362.2.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为()A. B.C. D.考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案D解析VSh3.3.圆锥的轴截面是等腰直角三角
7、形，侧面积是16，则圆锥的体积是()A. B. C.64 D.128考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案B解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2r，即lr，S侧rlr216，解得r4.l4，圆锥的高h4，圆锥的体积为VSh424.4.某几何体的三视图如图所示，其体积为_.答案解析由三视图可知该几何体是半个圆锥，则该几何体的体积为122.5.如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降_cm.答案0.6解析将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积.设水面下降的高度为x cm，则2x220，得x0.6 cm.1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V柱体ShV台体h(SS)V锥体Sh.2.在三棱锥ABCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求VABCD，h.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VABCDVBACDVCABDVDABC，求解的原则是V易求，且BCD的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.