1、3.3空间两点间的距离公式学习目标1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离.知识点空间两点间的距离公式1.在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|.2.空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|.思考如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？答案.题型一求空间两点间的距离例1已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，D1D3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点.以D为坐标原点，建立如图所示的空
2、间直角坐标系.(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度.考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离的综合应用解(1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3).(2)|MD|，|MN|.反思感悟求空间两点间的距离的步骤(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标.(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定.跟踪训练1如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E分别是棱AB，B
3、1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.考点空间两点间的距离公式题点空间两点间的距离的计算解以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.|C1C|CB|CA|2，C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，|DE|，|EF|.题型二求空间点的坐标例2已知点A(4,5,6)，B(5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|PB|，则点P的坐标为_.考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标答案(0,0,6)解析设P(
4、0,0，z)，由|PA|PB|，得，解得z6.点P的坐标为(0,0,6).引申探究若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？解设P(0，y,0)，由|PA|PB|，得，解得y.点P的坐标为.反思感悟(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.跟踪训练2设点P在x轴上，使它到点P1(0，3)的距离是到点P2(0,1，1)的距离的2倍，求点P的坐标.考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标解因为P在x轴上，所以设点P的坐标为(
5、x,0,0).因为|PP1|2|PP2|，所以2，所以x1，所以点P的坐标为(1,0,0)或(1,0,0).题型三空间两点间距离公式的应用例3如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上.当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值.考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离的最值问题解由题意知，P.Q点在CD上，设Q(0,1，z)，z0,1，|PQ|，当z时，|PQ|min.反思感悟利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体现了数学上
6、的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，再分析函数即可.跟踪训练3在xOy平面内的直线2xy0上确定一点M，使它到点P(3,4,5)的距离最小，并求出最小值.考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离的最值问题解点M在xOy平面内的直线2xy0上，设点M(a,2a,0)，则|MP|，当a1时，|MP|取最小值3，此时M(1,2,0)，当点M的坐标为(1,2,0)时，|MP|最小，最小值为3.1.坐标原点到下列各点距离最大的点是()A.(1,1,1) B.(1,2,2)C.(2，3,5) D.(3,0,4)考点空间两点间的距离公式题
7、点空间两点间的距离的计算答案C2.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|2，则实数x的值是()A.3或4 B.6或2 C.3或4 D.6或2考点空间两点间的距离公式题点已知空间两点间的距离求参数的值答案D解析由空间两点间的距离公式，得2，解得x6或x2.3.已知三角形的三个顶点A(2，1,4)，B(3,2，6)，C(5,0,2)，则过A点的中线长为()A. B.2C.11 D.3考点空间两点间的距离公式题点空间两点间的距离的计算答案B解析BC的中点坐标为(4,1，2)，过A点的中线长为2.4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDABCD，AC的中点E与AB的中
8、点F的距离为()A.a B.a C.a D.a考点空间两点间的距离公式题点空间两点间的距离的计算答案B解析A(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，E点坐标为，F点坐标为，|EF|a.5.已知点A(1，a，5)，B(2a，7，2)，则|AB|的最小值为_.考点空间两点间的距离公式及应用题点空间两点间的距离的最值问题答案3解析|AB|.当a1时，|AB|的值最小，最小值为3.1.空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.2.若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可.若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解.