1、2.2圆的一般方程学习目标1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.3.初步体会圆的方程的实际应用.知识点圆的一般方程1.圆的一般方程当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0称为圆的一般方程.2.方程x2y2DxEyF0表示的图形条件图形D2E24F0表示以为圆心，以为半径的圆1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.()2.二元二次方程x2y2DxEyF0一定是某个圆的方程.()3.若方程x2y22xEy10表示圆，则E0.()4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.()题型一圆的一般方程的理解例1若方程x2y
2、22mx2ym25m0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.考点圆的一般方程题点二元二次方程表示圆的条件解由表示圆的条件，得(2m)2(2)24(m25m)0，解得m0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.跟踪训练1圆x2y24x2y40的半径和圆心坐标分别为()A.r1，(2,1) B.r2，(2,1)C.r2，(2，1) D.r1，(2，1)考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案D解析x2y24x2y40可化为(x2)2(y
3、1)21，所以半径和圆心分别为r1，(2，1).题型二求圆的一般方程例2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1).(1)求ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a,2)在ABC的外接圆上，求a的值.考点待定系数法求圆的方程题点求多边形的外接圆方程解(1)设ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意，得解得即ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120.(2)由(1)知，ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120，点M(a,2)在ABC的外接圆上，a2228a22120，即a28a120，解得a2或6.反思感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或
4、需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2已知一圆过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程.考点待定系数法求圆的方程题点限定圆心在某直线上求圆的方程解方法一(待定系数法)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P，Q的坐标分别代入上式，得令x0，得y2EyF0，由已知得|y1y2|4，其中y1，y2是方程的根，|y1y2|2(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.联立解得或故圆的方程为x2y22x120或x2
5、y210x8y40.方法二(几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线方程为xy10，所求圆的圆心C在直线xy10上，设其坐标为(a，a1).又圆C的半径长r|CP|.(*)由已知得圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|，r2a22，代入(*)式整理得a26a50，解得a11，a25，r1，r2.故圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237，即x2y22x120或x2y210x8y40.求动点的轨迹方程典例已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程.考点与
6、圆有关的轨迹问题题点有关点的轨迹的其他问题解(1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，又P(x0，y0)在圆x2y24上，(2x2)2(2y)24，(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.素养评析(1)求与圆有关的轨迹问题的方程直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.定义法：根据圆、直线等定义列方程.代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关
7、系式等.(2)理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，是数学运算的数学核心素养的体现.1.若方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是()A.m2 B.m C.m2 D.m考点圆的一般方程题点二元二次方程表示圆的条件答案B解析由D2E24F0，得(1)2124m0，即m.2.圆x2y24x6y30的圆心和半径分别为()A.(4，6)，16 B.(2，3)，4C.(2,3)，4 D.(2，3)，16考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案C3.圆x2y22x6y80的面积为()A.8 B.4C.2 D.考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心和半径答案C解析原方程可化为(x1)
8、2(y3)22，半径r，圆的面积为Sr22.4.若点M(3,0)是圆x2y28x4y100内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()A.xy30 B.xy30C.2xy60 D.2xy60考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案C解析圆x2y28x4y100的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.由k2，可知C正确.5.已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程.解方法一设圆心C的坐标为(0，b)，由|CA|CB|，得，解得b2.C点坐标为(0,2).圆C的半径r|CA|.圆C的方程为x2(y2)25，即x2y24y10.方法二AB的中点为.中垂线的斜率k1，AB的中垂线的方程为y，令x0，得y2，即圆心为(0,2).圆C的半径r|CA|，圆的方程为x2(y2)25，即x2y24y10.圆的一般方程x2y2DxEyF0是圆的另一种表示形式，其隐含着D2E24F0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件.求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质.