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1.1 直线的倾斜角和斜率 学案(含答案)

1、1直线与直线的方程1.1直线的倾斜角和斜率学习目标1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率.知识点一直线的倾斜角1.在平面直角坐标系中,确定直线位置的几何条件(1)直线上的一个点.(2)这条直线的方向.2.直线的倾斜角定义在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角规定:当直线l和x轴平行时,它的倾斜角为0范围倾斜角的取值范围为0180知识点二直线的斜率1.定义:把一条直线的倾斜角(90)的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表

2、示,即ktan (90);当90时,直线的斜率k不存在.2.斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)009090900不存在k0k的变化定值倾斜角越大,直线的斜率k就越大不存在倾斜角越大,直线的斜率就越大3.过两点的直线斜率的计算公式直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其斜率k(x 1x2).1.任一直线都有倾斜角,都存在斜率.()2.若直线的倾斜角为,则0180.()3.若一条直线的倾斜角为,则它的斜率ktan .()4.任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.()题型一直线的倾斜角例1(1)已知直线l的倾斜角为25,则角的取值范围为()A.25155 B.25155C.0180

3、 D.25205考点直线的倾斜角题点直线倾斜角概念的理解答案D解析因为直线l的倾斜角为25,所以025180,所以25205.(2)已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.090 B.90180C.90180 D.0180考点直线的倾斜角题点数形结合求倾斜角答案C解析直线倾斜角的取值范围是0180,又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角的取值范围是90180.反思感悟(1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向

4、所成的角为30,则直线l的倾斜角为 .考点直线的倾斜角题点数形结合求倾斜角答案60或120解析有两种情况:如图(1),直线l向上方向与x轴正向所成的角为60,即直线l的倾斜角为60.如图(2),直线l向上方向与x轴正向所成的角为120,即直线l的倾斜角为120.题型二直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并确定直线的倾斜角.(1)A(2,3),B(4,5);(2)C(2,3),D(2,1);(3)P(3,1),Q(3,10).考点直线的斜率题点由斜率公式计算斜率解(1)存在.直线AB的斜率kAB1,即tan 1,又0180,所以倾斜角45.(2)存在.直线CD的斜

5、率kCD1,即tan 1,又0180,所以倾斜角135.(3)不存在.因为xPxQ3,所以直线PQ的斜率不存在,所以倾斜角90.反思感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项运用公式的前提条件是“x1x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的;斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.(2)在0180范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角0304560120135150斜率k011跟踪训练2(1)若直线的倾斜角为60,则直线的斜率为()A. B. C. D.考点直线的斜率题点倾斜角、斜率的计算答案A(2)已知过

6、A(3,1),B(m,2)的直线的斜率为1,则m的值为 .考点直线的斜率题点由斜率公式计算斜率答案0题型三直线的斜率的应用例3如果三点A(2,1),B(2,m),C(6,8)在同一条直线上,求m的值.考点三点共线题点三点共线求参数的值解kAB,kAC,A,B,C三点共线,kABkAC,即,m6.反思感悟斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的.直线上任意两点所确定的方向不变,即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等,这正是利用斜率相等可证点共线的原因.跟踪训练3已知三点A(0,1),B(1,3),C(2,5),求证:A,B,C三点共线.考点三点共线题点证明三点共线证明kAB2,kBC2,k

7、ABkBC,A,B,C三点共线.数形结合法求倾斜角或斜率范围典例直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角和斜率关系的其他应用解如图所示.kAP1,kBP,k(,1,),45120.素养评析(1)两点求斜率,由斜率公式k(x1x2)求得;由倾斜角(范围)求斜率(范围)利用定义式ktan (90)解决.(2)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解.数形结合就是利用图形描述、分析数学问题,建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,所以本例突出培养学生直观想象的数学核心素养.

8、1.对于下列说法:若是直线l的倾斜角,则0180;若k是直线的斜率,则kR;任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率;任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角.其中正确说法的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4考点直线的倾斜角题点直线倾斜角概念的理解答案C解析正确.2.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是()A.(4,2)与(4,1) B.(0,3)与(3,0)C.(3,1)与(2,1) D.(2,2)与(2,5)考点直线的斜率题点由斜率公式计算斜率答案D解析D项,因为x1x22,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90.3.若经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45,则m等于()A.

9、2 B.1 C.1 D.2考点直线的斜率题点倾斜角、斜率的计算答案A解析由题意知,tan 45,得m2.4.若A(2,3),B(3,2),C三点共线,则实数m的值为 .考点三点共线题点三点共线求参数的值答案解析设直线AB,BC的斜率分别为kAB,kBC,则由斜率公式,得kAB1,kBC(m2).A,B,C三点共线,kABkBC,即1(m2),解得m.5.经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角的取值范围是 .(其中m1)考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角和斜率关系的其他应用答案01时,tan 0,090.故090.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度,二者紧密相连,如下表:直线情况平行于x轴垂直于x轴的大小009090900不存在k0k的增减情况k随的增大而增大k随的增大而增大