1、第2课时直线方程的两点式和一般式学习目标1.掌握直线方程的两点式和一般式.2.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程来表示.3.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围.知识点一直线方程的两点式名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2斜率存在且不为0知识点二直线方程的截距式名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x，y轴上的截距分别为a，b且a0，b01斜率存在且不为0，直线不过原点知识点三直线方程的一般式1.一般式方程形式AxByC0条件A，B不同时为02.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点
2、式、截距式的关系1.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()2.能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.()3.任何直线方程都能表示为一般式.()4.当A，B同时为零时，方程AxByC0也可表示一条直线.()题型一直线的两点式和截距式方程命题角度1直线的两点式方程例1已知ABC的顶点是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，若AB与y轴交于点E，BC与x轴交于点F，求直线EF的方程.考点直线的两点式方程题点直线两点式方程的应用解直线AB过A(5,0)，B(3，3)两点，由两点式得，整理得3x8y150
3、.令x0，得y，E.直线BC过B(3，3)，C(0,2)两点，由两点式得，整理得5x3y60.令y0，得x，F.由截距式方程得1，整理得25x16y300.直线EF的方程为25x16y300.反思感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标.跟踪训练1过点A(2,1)，B(3，3)的直线方程为()A.4x5y1
4、30 B.4x5y30C.5x4y50 D.5x4y80考点直线的两点式方程题点利用两点式求直线方程答案B解析因为直线过点(2,1)和(3，3)，所以，所以，化简得4x5y30.命题角度2直线的截距式方程例2求过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程解(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为yx，即2x5y0；(2)当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为1，即xya，又l过点A(5,2)，52a，解得a3，l的方程为xy30.综上所述，直线l的方程是2x5y0或xy30.反思感悟(1)如果问题中涉及直线与两坐标
5、轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.跟踪训练2(1)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为()A.yx B.xy5C.yx和xy5 D.yx和xy5考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程答案C解析设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b.当ab0时，直线方程为1，1，a5，xy5，当ab0时，k，yx，综上所述，yx和xy5.(2)(2018株州高一检测)已知直线l过点A(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程.考点直线的截距式方程题点利
6、用截距式求直线方程解设l：1(a0，b0)，则a24a40，解得a2，所以b4.直线l：1，所以l：2xy40.题型二直线的一般式方程例3根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为2；(3)经过点A(1,5)，B(2，1)两点；(4)在x轴，y轴上的截距分别为3，1；(5)经过点B(4,2)，且平行于x轴.考点直线的一般式方程题点求直线的一般式过程及各种方程的互化解(1)由点斜式，得直线方程为y3(x5)，即xy530.(2)由斜截式，得直线方程为y4x2，即4xy20.(3)由两点式，得直线方程为，即2xy30.(4
7、)由截距式，得直线方程为1，即x3y30.(5)y20.反思感悟在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.跟踪训练3(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式.斜率是，且经过点A(8，6)的直线方程为_；在x轴和y轴上的截距分别是和3的直线方程为_；经过点P1(3，2)，P2(5，4)的直线方程为_.考点直线的一般式方程题点求直线的一般式过程及各种方程的互化答案x2y402xy30xy10(2)直线2xy20绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90所得的直线方程是()A.x2y40 B.x2y40C.x2y40 D.x
8、2y40考点直线的一般式方程题点求直线的一般式过程及各种方程的互化答案D解析直线2xy20与y轴的交点为A(0，2)，所求直线过点A且斜率为，所求直线的方程为y2x，即x2y40.题型三与含参数的一般方程有关的问题例4设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0.(1)已知直线l在x轴上的截距为3，求m的值；(2)已知直线l的斜率为1，求m的值.考点直线的一般式方程题点根据直线的一般式方程求参数的值解(1)由题意知m22m30，即m3且m1，令y0，则x，3，得m或m3(舍去).m.(2)由题意知，2m2m10，即m且m1.由直线l化为斜截式方程得yx，则1，得m2或m1(舍去).
9、m2.引申探究对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值.解直线l与y轴平行，m.反思感悟(1)若方程AxByC0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x0可得在y轴上的截距.令y0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.(3)解分式方程要注意验根.跟踪训练4(1)(2018铜川高一检测)若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一条直线，则实数m满足()A.m0 B.mC.m1 D.m1，m，m0答案C解析因为方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一条直线，所以2m2m30，m2m0不能同时成立，解得m1.(2)若直线l：axy20在x轴和y
10、轴上的截距相等，则a_.答案1解析由题意知a0，当x0时，y2；当y0时，x，2，a1.1.在直角坐标系中，直线xy30的倾斜角是()A.30 B.60 C.150 D.120答案C解析直线斜率k，所以直线的倾斜角为150，故选C.2.在x轴，y轴上的截距分别是3,4的直线方程是()A.1 B.1C.1 D.1考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程答案A3.经过两点(5,0)，(2，5)的直线方程为()A.5x3y250 B.5x3y250C.3x5y250 D.5x3y250考点直线的两点式方程题点利用两点式求直线方程答案B解析由两点式得：，所以得5x3y250.4.直线1(ab0)的
11、图像可能是()答案C5.已知直线kxy13k0，当k变化时，所有直线都恒过点()A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)答案C解析kxy13k0可化为y1k(x3)，所以直线过定点(3,1).1.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直.(3)要注意截距式直线方程的逆向应用.2.直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式.一般式化斜截式的步骤：(1)移项，ByAxC；(2)当B0时，得yx.3.在一般式AxByC0(A2B20)中，若A0，则y，它表示一条与y轴垂直的直线；若B0，则x，它表示一条与x轴垂直的直线.