1、1.4两条直线的交点学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.会用求交点坐标的方法解决直线过定点、三条直线交于一点等问题.知识点直线的交点1.两直线的交点几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线l1l1：A1xB1yC10直线l2l2：A2xB2yC20点A在直线l1上A1aB1bC10点A在直线l2上A2aB2bC20直线l1与l2的交点是A2.两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行1.若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组
2、的解.()2.无论m为何值，xy10与x2my30必相交.()3.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.()题型一求两条直线的交点例1分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1)l1：2xy7和l2：3x2y70；(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；(3)l1：4x2y40和l2：y2x3.考点直线的一般式方程与直线的平行关系题点利用直线的一般式方程判断位置关系解(1)解方程组得因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，1).(2)方程组有无数个解，表明直线l1和l2重合.(3)方程组无解，表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2.反思感悟两条直线相交的判定方法方
3、法一联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二两直线斜率都存在且斜率不相等方法三两直线的斜率一个存在，另一个不存在特别提醒在判定两直线是否相交时，要特别注意斜率不存在的情况.跟踪训练1(1)已知直线l1：3x4y50与l2：3x5y60相交，则它们的交点是()A. B.C. D.答案B(2)已知直线5x4y2a1与直线2x3ya的交点位于第四象限，则a的取值范围是_.考点两条直线的交点题点两直线交点的综合应用答案解析由得由得a的取值范围为.题型二求过两条直线交点的直线方程例2求过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程.考点过两条直线交点的直线方程题点利用直线
4、系方程求过两条直线交点的直线方程解方法一解方程组得所以两条直线的交点坐标为.又所求直线与直线3xy10平行，所以所求直线的斜率为3.故所求直线方程为y3，即15x5y160.方法二设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0.(*)由于所求直线与直线3xy10平行，所以有得.代入(*)式，得xy0，即15x5y160.引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解.解设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直线与直线3xy10垂直，则3(2)(3)10，得，所以所求直线方程为5x15y180.反思感悟求过两条直线交点的直
5、线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.跟踪训练2直线l经过原点，且经过另两条直线2x3y80，xy10的交点，则直线l的方程为()A.2xy0 B.2xy0C.x2y0 D.x2y0考点过两条直线交点的直线方程题点利用直线系方程求过两条直线交点的直线方程答案B解析设所求直线方程为2x3y8(xy1)0，即(2)x(3)y80.因为直线l过原点，所以8.则所求直线方程为2xy0.题型三
6、直线系过定点问题例3无论m为何值，直线l：(m1)xy7m40恒过一定点P，求点P的坐标.解(m1)xy7m40，m(x7)(xy4)0，点P的坐标为(7,3).反思感悟解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得.若整理成yy0k(xx0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0).跟踪训练3已知直线方程为(2)x(
7、12)y430，求证：不论取何实数值，此直线必过定点.证明把直线方程整理为2xy4(x2y3)0.解方程组得即点(1，2)是方程2xy4(x2y3)0的解，也就是方程(2)x(12)y430的解，所以不论取何实数值，直线(2)x(12)y430必过定点(1，2).1.直线3x2y60和2x5y70的交点坐标为()A.(4，3) B.(4,3)C.(4,3) D.(3,4)答案C解析由方程组得故选C.2.经过两条直线3x4y50和3x4y130的交点，且斜率为2的直线方程是()A.2xy70 B.2xy70C.2xy70 D.2xy70考点两直线的交点题点两直线交点的综合应用答案B解析联立方程解
8、得交点坐标为(3，1)，且斜率为2，直线方程为2xy70，故选B.3.经过直线2xy40与xy50的交点，且垂直于直线x2y0的直线方程是()A.2xy80 B.2xy80C.2xy80 D.2xy80考点两直线的交点题点两直线交点的综合应用答案A解析首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为2，可得直线方程为y62(x1)，即2xy80.4.如图，两直线交点B的坐标可以看作二元一次方程组_的解.考点两直线的交点题点两直线交点的综合应用答案5.不论m为何实数，直线(m1)x(2m1)ym5恒过的定点坐标是_.考点恒过定点的直线题点求直线恒过的定点坐标答案(9，4)解析方法一取m1，得
9、直线y4.取m，得直线x9.故两直线的交点为(9，4).将x9，y4代入方程，左边(m1)94(2m1)m5右边，故直线恒过点(9，4).方法二直线方程可变形为(x2y1)m(xy5)0，对任意m该方程恒成立，解得故直线恒过定点(9，4).1.与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByD0(DC)，与直线ykxb平行的直线系方程为ykxm(mb).2.过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线系方程是A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1xB1yC1)n(A2xB2yC2)0(m2n20)，是过直线l1与l2交点的所有直线方程.