1、习题课简单的线性规划基础过关1.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元答案B解析设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z400x300y的最小值，解得当时，zmin2200(元).2.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项
2、目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为()A.36万元B.31.2万元C.30.4万元D.24万元答案B解析设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润为z万元，则z0.4x0.6y.由图象知，目标函数z0.4x0.6y在A点取得最大值.ymax0.4240.63631.2(万元).3.已知实数x，y满足则的最大值为_.答案2解析画出不等式组对应的平面区域，表示平面区域上的点P(x，y)与原点的连线的斜率.A(1,2)，B(3,0)，02.4.某公司租赁甲、乙两
3、种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为_元.答案2300解析设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则目标函数为z200x300y.作出其可行域，易知当x4，y5时，z200x300y有最小值2300元.5.画出不等式组表示的平面区域.解不等式x3表示直线x3左侧点的集合；不等式2yx，即x2y0表示直线x2y0上及左上方点的集合；不等式3x2y6，即3x2y60表示直线3x2y60上
4、及右上方点的集合；不等式3y0表示直线x3y90右下方点的集合.综上可得，不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分.6.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域.作直线l0：x0.5y0，并作平行于直线l0的一组直线x0.5yz，
5、zR，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，此时z取最大值.解方程组得x4，y6，此时z140.567(万元).70，当x4，y6时，z取得最大值.答投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.7.家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利
6、润最大？解由题意可画表格如下：方木料(m3)五合板(m2)利润(元)书桌(个)0.1280书橱(个)0.21120(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，则x300.所以当x300时，zmax80x8030024000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元.(2)设只生产书橱y个，可获得利润z元，则y450.所以当y450时，zmax120y12045054000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元.(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则z80x120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可
7、行域.作直线l：80x120y0，即直线l：2x3y0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z80x120y取得最大值.由解得点M的坐标为(100,400).所以当x100，y400时，zmax8010012040056000(元).因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大.能力提升8.已知O是坐标原点，点A(1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是()A.1,0B.0,1C.0,2D.1,2答案C解析满足约束条件的平面区域为如右图所示的PQS所在的平面区域.设M点坐标为(x，y)，则xy，令zxy，则yxz，移动直线yx可知，
8、当直线yxz过点S(1,1)时z最小，过点P(0,2)时z最大.所以zmin110，zmax022.9.实数x，y满足不等式组则的取值范围是_.答案解析如图，画出满足不等式组的解(x，y)构成的可行域ABO，求得B(2,2)，根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(1,1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值为1，最大值为.故的取值范围是.10.某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2m2，可同时做A，B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3m2，可做A，B的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用
9、多少张，才能使总的面积最小.解设用甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则可做A种产品外壳3x6y个，B种产品外壳5x6y个，由题意可得所有的薄钢板的总面积是z2x3y.可行域为如图所示的阴影部分，其中l1：3x6y45；l2：5x6y55，l1与l2的交点为A(5，5)，因目标函数z2x3y在可行域上的最小值在区域边界的A(5,5)处取得，此时z的最小值为253525.即甲、乙两种薄钢板各5张，能保证制造A，B的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小.11.画出2x3y3表示的区域，并求出所有正整数解.解所给不等式等价于依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1).对于2x3y3的正整数解，再画
10、出表示的平面区域，如图(2)所示：可知，在该区域内有整数解(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组.创新突破12.咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯分别用奶粉、咖啡、糖9g、4g、3g；乙种饮料每杯分别用奶粉、咖啡、糖4g、5g、10g，已知每天使用原料限额为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g，如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料使用的限额内，饮料能全部售完，问咖啡馆每天怎样安排配制饮料获利最大？解设咖啡馆每天配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，获利z元.得目标函数z0.7x1.2y，x，y的线性约束条件作出可行域如下图，如图所示，在点C(200,240)处，即x200，y240时，zmax428(元).答咖啡馆每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，能使咖啡馆获利最大.