1、10.3基本不等式及其应用(二)基础过关1.已知x，则f(x)有()A.最大值B.最小值C.最大值1D.最小值1答案D解析f(x)(x2)1.当且仅当x2，即x3时，等号成立.2.已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x4y的最小值为()A.2B.4C.16D.不存在答案B解析点P(x，y)在直线AB上，x2y3.2x4y224.当且仅当x，y时，等号成立.3.函数ylog2 (x1)的最小值为()A.3B.3C.4D.4答案B解析x5(x1)6268.当且仅当x2时取“”.log23，ymin3.4.已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A.B.4C.D.5
2、答案C解析ab2，1.2(当且仅当，即b2a时，“”成立)，故y的最小值为.5.周长为1的直角三角形面积的最大值为_.答案解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则1ab2，解得ab，当且仅当ab时取“”，所以直角三角形面积S，即S的最大值为.6.建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为_元.答案1760解析设水池的造价为y元，长方形底的一边长为xm，由于底面积为4m2，所以另一边长为m.那么y120480248032048032021760(元).当且仅当x2时等号成立，即底为边长为2m的正方形时，水池的
3、造价最低，为1760元.7.(1)已知x0，求f(x)3x的最小值；(2)已知x0，y0，且2x8yxy，求xy的最小值.解(1)x0，f(x)3x212，当且仅当3x，即x2时取等号.f(x)的最小值为12.(2)x3，x30，y0，x80，y，xyxx(x8)1021018.当且仅当x8，即x12时，等号成立.xy的最小值是18.方法二由2x8yxy0及x0，y0，得1.xy(xy)() 1021018.当且仅当，即x2y12时等号成立.xy的最小值是18.能力提升8.若xy是正数，则22的最小值是()A.3 B. C.4 D.答案C解析22x2y21124.当且仅当xy或xy时取等号.9
4、.设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A.0B.1C.D.3答案B解析由x23xy4y2z0，得zx23xy4y2.所以1，当且仅当，即x2y时取等号，此时z2y2，max1.211，当y1时，取等号，故选B.10.已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_.答案解析由题知a3b6，因为2a0，8b0，所以2a222，当且仅当2a，即a3，b1时取等号.11.已知x，y都是正数.(1)若3x2y12，求xy的最大值；(2)若1，求xy的最小值.解(1)xy3x2y()26，当且仅当即时取“”.所以当x2，y3时，xy取得最大值6.(2)由x，yR且1
5、，得xy(xy)()2022036，当且仅当，即x12且y24时，等号成立.所以xy的最小值是36.12.某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为x(x12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)300050x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解设建x层时该楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得f(x)Q(x)50x3000230005000(元).当且仅当50x，即
6、x20时上式取“”.因此，当x20时，f(x)取得最小值5000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5000元.创新突破13.如图所示，动物园要围成面积相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解(1)设每间虎笼长xm，宽为ym，则由条件知：4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.方法一由于2x3y22，218
7、，得xy，即S，当且仅当2x3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大.方法二由2x3y18，得x9y.x0，0y6，Sxyy(6y)y，2.当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大.(2)由条件知Sxy24.设钢筋网总长为l，则l4x6y.方法一2x3y2224，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当2x3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小.方法二由xy24，得x.l4x6y6y66248.当且仅当y，即y4时，等号成立，此时x6.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小.