1、8.3解三角形的应用举例(一)基础过关1.海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是()A.10nmileB.nmileC.5nmileD.5nmile答案D解析由题意知，在ABC中AB10，A60，B75，则C180AB45.由正弦定理，得BC5(nmile).2.如图，一客轮以速率2v由A至B再到C匀速航行，一货船从AC的中点D出发，以速率v沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知ABBC，ABBC50海里，若两船同时出发，则两船相遇之处M距C点的距离为()A.海里B.海里C.25海里D.10海里答案A解析由题意知
2、，M在BC上，设DMx，则CM1002x，在CDM中，由余弦定理得：x2(25)2(1002x)2225(1002x)cos45，解得x50，CM.3.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30，看正南方向有一只船俯角为45，则此时两船间的距离为()A.2h米B.h米C.h米D.2h米答案A解析如图所示，BCh，ACh，AB2h (米).4.甲骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A.6km B.3km C.3km D.3km
3、答案C解析由题意知，AB246(km)，BAS30，ASB753045.由正弦定理，得BS3(km).5.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为12nmile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为8nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60，则A处与D处之间的距离为_nmile；灯塔C与D处之间的距离为_nmile.答案248解析(1)在ABD中，由已知得ADB60，B45；由正弦定理得AD24；(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos30，解得CD8.所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为8nmile.6.甲
4、船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距anmile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶多少nmile?解如图所示，设两船在C处相遇，并设CAB，乙船行驶距离BC为xnmile，则ACxnmile，由正弦定理得sin，而60，30，即ACB30，ABBCa，从而BCa (nmile).答甲船应沿北偏东30方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了anmile.7.某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45，距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向
5、，以10海里/时的速度行驶，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.解如图所示，设舰艇与渔船在B处相遇时所用时间为t小时，则AB10t，CB10t，在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos120，可得(10t)2102(10t)221010tcos120，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去).即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB10，BC10，在ABC中，由正弦定理得，所以sinCAB，所以CAB30，所以舰艇航行的方位角为75.能力提升8.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B
6、在A的正东40km处，B城市处于危险区内的时间为()A.0.5hB.1hC.1.5hD.2h答案B解析设A地东北方向上点P到B的距离为30km，APx，在ABP中，PB2AP2AB22APABcosA，即302x24022x40cos45，化简得x240x7000.设该方程的两根为x1，x2，则|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，故t1.故选B.9.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100m，则山高MN_m.答案150解析根据图示，AC10
7、0m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100m.在AMN中，sin60，MN100150(m).10.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为_km.答案30解析如图，由已知条件，得AC60km，BAC30，ACB105，ABC45.由正弦定理BC30(km).11.某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60相距20(1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(1)小时后
8、开始影响基地持续2小时.求台风移动的方向.解如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD20，AC20.由题意AB20(1)，DC20，BC(1)10.在ADC中，DC2AD2AC2，DAC90，ADC45.在ABC中，由余弦定理得cosBAC.BAC30，又B位于A南偏东60，603090180，D位于A的正北方向，又ADC45，台风移动的方向为向量的方向.即北偏西45方向.所以台风向北偏西45方向移动.12.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(1)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有
9、一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意知DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB中，由正弦定理得，DB10(海里)，又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC300120021020900，CD30(海里)，则需要的时间t1(小时).答救援船到达D点需要1小时.创新突破13.如图所示，A，B两个小岛相距21海里，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9海里的速度向B岛行驶，而乙船同时以6海里的速度离开B岛向南偏东60方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离.解如图，行驶th后，甲船行驶了9t海里到达C处，乙船行驶了6t海里到达D处.当9t21，即t3(海里).当t时，BC(9t21)(海里)，则CD2(9t21)2(6t)22(9t21)6tcos6063t2252t44163(t2)2189189.综上可知t2时，CD取得最小值3.答行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3海里.