1、8.3解三角形的应用举例(二)基础过关1.如下图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于()A.10mB.5mC.5(1)mD.5(1)m答案D解析在ADC中，AD10(1).在RtABD中，ABADsin305(1).2.某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10m到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为()A.15mB.5mC.10mD.12m答案C解析如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则ODh.在OCD中，OCD120，CD10
2、，由余弦定理得OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120，h25h500，解得h10或h5(舍).3.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是()A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m答案D解析在BCD中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，得，BC10.在RtABC中，tan60，ABBCtan6010.4.在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为
3、2，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4，则该山峰的高度为()A.200 m B.300 m C.400 m D.100 m答案B解析方法一如图，BED，BDC为等腰三角形，BDED600，BCDC200.在BCD中，由余弦定理可得cos2，230，460.在RtABC中，ABBCsin4200300，故选B.方法二由于BCD是等腰三角形，BDDCcos2，即300200cos2.cos2，230，460.在RtABC中，ABBCsin4200300，故选B.5.如图所示，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120m，则河的宽度
4、为_m.答案60解析在ABC中，CAB30，CBA75，ACB75.ACBABC.ACAB120(m).作CDAB，垂足为D，则CD即为河的宽度.由正弦定理得，CD60(m).河的宽度为60m.6.如下图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.解选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H，G两点用测角仪器测得A的仰角分别是，CDa，测角仪器的高是h.那么，在ACD中，根据正弦定理可得AC，ABAEhACsinhh.7.在某一山顶观测山下两村庄A，B，测得A的俯角为30，B为俯角为40，观测A，B两村庄的视角为50，已知A、B在
5、同一海平面上且相距1000米，求山的高度.(精确到1米.sin400.6428)解设山顶为C，山高CDx，由题意CAD30，CBD40，ACB50.在RtADC中，AC2x，在RtBDC中，BC.在ABC中，由余弦定理知AB2AC2BC22ACBCcosACB.100024x2cos50，x1000sin40643(米).所以山高约为643米.能力提升8.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()A.100
6、 m B.400 m C.200 m D.500 m答案D解析由题意画出示意图，设高ABh，在RtABC中，由已知BCh，在RtABD中，由已知BDh，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD得，3h2h25002h500，解之得h500.故选D.9.如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8nmile.此船的航速是_nmile/h.答案32解析设航速为vnmile/h，在ABS中，ABv，BS8nmile，BAS30，BSA45由正弦定理得：，v32
7、nmile/h.10.地平面上有一旗杆设为OP，已知地平面上的一基线AB，AB200m，在A处测得P点的仰角为OAP30，在B处测得P点的仰角为OBP45，又测得AOB60，求旗杆的高h.解如图，OAP30，OBP45，AOB60，AB200m，在OAP中，OPAO，AOP90，则tan30，OAh(m)，同理在BOP中，BOP90，且OBP45，OBOPh，在OAB中，由余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcosAOB，即20023h2h22h2cos60，解得hm.答旗杆高为m.11.某人在塔的正东方沿着南偏西60的方向前进40m以后，望见塔在东北方向.若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔
8、的高度.解在BCD中，CD40m，BCD906030，DBC4590135.由正弦定理，得，BD20(m).在RtABE中，tanAEB，AB为定值，故要使AEB最大，需要BE最小，即BECD，这时AEB30.在BCD中，BDE1801353015，BEBDsinBDE20sin1510(1)(m).在RtABE中，ABBEtanAEB10(1)tan30(3)(m).所以塔的高度为(3) m.12.如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；
9、并测量得到数据：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1百米.(1)求CDE的面积；(2)求A，B之间的距离.解(1)在CDE中，DCE3609015105150，SCDEDCCEsin150sin30(平方百米).即SCDE公顷.(2)连接AB，依题意知，在RtACD中，ACDCtanADC1tan60(百米)，在BCE中，CBE180BCECEB1801054530，由正弦定理，得BCsinCEBsin45(百米).cos15cos(6045)cos60cos45sin60sin45，在ABC中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB，可得AB2
10、()2()222，AB百米.创新突破13.如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，1.414，2.449).解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，CDAC0.1km，又BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，BDBA，在ABC中，ABC75BCA15，由正弦定理得，即AB(km)，因此，BD0.33km，故B，D的距离约为0.33km.