1、8.1正弦定理(二)基础过关1.在ABC中，已知(bc)(ac)(ab)456，则sinAsinBsinC等于()A.456B.654C.753D.756答案C解析设bc4k，ac5k，ab6k(k0)，三式联立可求得ak，bk，ck，abc753，即sinAsinBsinC753.2.在ABC中，a2bcosC，则这个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案A解析由正弦定理得sinA2sinBcosC，sin (BC)2sinBcosC，sinBcosCcosBsinC2sinBcosC，sin (BC)0，BC，故选A.3.在ABC中，内角A，
2、B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则的值为()A.B.C.1D.答案D解析，.3a2b，.2()212()211.4.在ABC中，若b1，c，C，则a的值为()A.1B.2C.D.答案A解析由正弦定理，有，sinB.C为钝角，B必为锐角，B，A.ab1.5.在单位圆上有三点A，B，C，设ABC三边长分别为a，b，c，则.答案7解析ABC的外接圆直径为2R2，2R2，2147.6.在ABC中，A60，b4，a4，则B.答案45解析由正弦定理，得sinB，ab，AB.B只有一解.B45.7.不解三角形，判断下列三角形解的个数.(1)a5，b4，A120；(2)a9，b10，A60；(3)
3、c50，b72，C135.解(1)sinBsin120，ab，B为锐角，所以三角形有一解.(2)sinBsin60，而1，所以当B为锐角时，满足sinB的角有60B90，故对应的钝角B有90B120，也满足AB180，故三角形有两解.(3)cb，C180，故三角形无解.能力提升8.在ABC中，则ABC一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D解析在ABC中，acosAbcosB，由正弦定理，得2RsinAcosA2RsinBcosB，sin2Asin2B.2A2B或2A2B180，AB或AB90.故ABC为等腰三角形或直角三角形.9.在ABC中，角
4、A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(，1)，n(cosA，sinA)，若mn，且acosBbcosAcsinC，则角A，B的大小为()A.，B.，C.，D.，答案C解析mn，cosAsinA0，tanA，A，由正弦定理得sinAcosBsinBcosAsin2C，sin(AB)sin2C，即sinC1，C，B.10.ABC中，A，BC3，则ABC的周长为(用B表示).答案6sin3解析在ABC中，由正弦定理得，化简得AC2sinB，化简得AB2sin，所以三角形的周长为：3ACAB32sinB2sin33sinB3cosB6sin3.11.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
5、已知2BAC，ab2c，求sinC的值.解2BAC，ABC180，B60，AC120，0A120，0C120且A120C.ab2c，由正弦定理得sinAsinB2sinC，sin (120C)2sinC，即cosCsinC2sinC，sinCcosC.sin (C30).30C3090，C3045.C75.sinCsin (4530)sin45cos30cos45sin30.12.在ABC中，已知，且cos (AB)cosC1cos2C.(1)试确定ABC的形状；(2)求的取值范围.解(1)在ABC中，设其外接圆半径为R，根据正弦定理得sinA，sinB，代入，得：，b2a2ab.cos(AB
6、)cosC1cos2C，cos(AB)cos(AB)2sin2C，sinAsinBsin2C.由正弦定理，得2，abc2.把代入得，b2a2c2，即a2c2b2.ABC是直角三角形.(2)由(1)知B，AC，CA.sinCsincosA.根据正弦定理，sinAcosAsin.0A，A.sin(A)1，1sin，即的取值范围是(1，.创新突破13.如图所示，在RtABC中，斜边c为RtABC外接圆的直径，故有2R，这一关系对任意三角形也成立吗？证明在锐角ABC中，如下图，连接BO交圆O于D，连接CD.因为AD，则在BCD中，2R.同理，2R，所以2R成立.在钝角ABC中，如下图，连接BO交圆O于D，连接CD，A180D，所以2R.所以2R仍成立.