1、章末复习课网络构建核心归纳1.三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理.(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理，得sinB.若sinB1，无解；若sinB1，一解；若sinB1，两解.(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2c2b22cbcosA，即c2(2bcosA)cb2a20，这是关于c的一元二次方程.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解.2.三角形形
2、状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a2RsinA，a2b2c22abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系.如：sinAsinBAB；sin(AB)0AB；sin2Asin2BAB或AB等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：sinA(R为ABC外接圆半径)，cosA等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断.3.解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决.其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角
3、度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答.解题时还要注意近似计算的要求.要点一利用正弦、余弦定理解三角形解三角形的一般方法是：(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a，b，c，可应
4、用余弦定理求A，B，C.例1在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2c2bca2和，求A和tanB的值.解由余弦定理cosA，0A180.因此A60.在ABC中，C180AB120B.由已知条件，应用正弦定理，从而tanB.跟踪演练1如图，ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，求AD的长度.解在ABC中，ABAC2，BC2，由余弦定理，得cosC，sinC；在ADC中，由正弦定理得，AD.要点二与解三角形有关的综合问题该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过
5、定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.例2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2ab)cosCccosB，ABC的面积S10，c7.(1)求角C；(2)求a，b的值.解(1)(2ab)cosCccosB，(2sinAsinB)cosCsinCcosB，2sinAcosCsinBcosCcosBsinC，即2sinAcosCsin (BC)，2sinAcosCsinA.A(0，)，sinA0，cosC，C.(2)由SabsinC10，C，得ab40.由余弦定理得：c2a2b22abcosC，即c2(ab)22ab(1cos)
6、，72(ab)2240.ab13.由得a8，b5或a5，b8.跟踪演练2在ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若a2，C，cos，求ABC的面积S.解因为cosB2cos21，所以sinB.所以sinAsin(BC)sinsincosBcossinB.由正弦定理，得c，所以SacsinB2.要点三正弦、余弦定理在实际中的应用应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理
7、运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.例3如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8s后监测点A,20s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.(1)设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离PD(精确到0.01km).解(1)由题意PAPB1.5812(km)，PCPB1.52030(km
8、).PB(x12)(km)，PC(18x)(km).在PAB中，AB20km，cosPAB.同理cosPAC.cosPABcosPAC，解得x(km).(2)在RtPDA中，PDPAcosAPDPAcosPABx17.71(km).所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71km.跟踪演练3甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解设甲、乙两船经t小时后相距最近，且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时.当0t2时，在APQ中，AP8t，A
9、Q10t20，PQ2.综合知，PQ2 (t0).当且仅当t时，PQ最小.答甲、乙两船行驶小时后，相距最近.要点四函数与方程思想的应用与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系.方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁.本章在利用正弦、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想.例4在ABC中，已知ABC，且A2C，b4，ac8，求a，c的长.解由正弦定理得，A2C，a2ccosC.又ac8，cosC
10、，由余弦定理及ac8，得cosC.由知，整理得5c236c640.c或c4(舍去).a8c.故a，c.跟踪演练4已知函数f(x)sin2x，xR.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c，f(C)0，若向量m(1，sinA)与向量n(2，sinB)共线，求a，b的值.解(1)f(x)sin2xsin1，函数f(x)的最小值是2，最小正周期是T.(2)由题意得f(C)sin(2C)10，sin(2C)1，0C，2CB等价于ab等价于sinAsinB.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.3.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.