1、10.3基本不等式及其应用(一)学习目标1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.知识链接下列说法中，正确的有_.(1)a2b22ab(ab)2；(2)(ab)20；(3)a2b2(ab)2；(4)(ab)2(ab)2.答案(1)(2)解析当a，b同号时，有a2b2(ab)2，所以(3)错误；当a，b异号时，有(ab)2(ab)2，所以(4)错误.预习导引1.两个重要定理(1)定理1：对于任意实数a，b，有a2b22ab，(当且仅当ab时等号成立).(2)定理2：如果a，b是正实数，那么(当且仅当ab时等号成立).(
2、3)定理1和定理2中的不等式通常称为基本不等式.2.基本不等式的常用推论(1)ab2(a，bR)；(2)a2b2()2(3)当ab0时，2；当ab0，b0).证明(1)a2b22ab(ab)20，a2b22ab，当且仅当ab时，取“”.(2)ab2()2()22()20.ab2.，当且仅当ab时，取“”.规律方法a2b22ab对a，bR都成立，成立的条件是a，bR，两个不等式“”成立的条件都是ab.跟踪演练1还有一种证明( a0，b0)的方法叫做分析法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把证明过程补充完整？要证：(a0，b0)只要证：ab_要证，只要证ab_0要证，只要证(_)20
3、显然，是成立的，当且仅当ab时，的等号成立.答案22题型二不等式的证明例2已知a，b，c都是实数.求证：a2b2c2(abc)2abbcca.证明a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，三式相加得2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca，在式两边同时加上(a2b2c2)得3(a2b2c2)(abc)2，即a2b2c2(abc)2.在式两边同时加上2(abbcca)得(abc)23(abbcca)，即(abc)2abbcca.由可得a2b2c2(abc)2abbcca.规律方法在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变
4、形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.跟踪演练2已知x，y，z都是正数.求证：(1)2；(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.(3)(xy)(yz)(zx)8xyz.证明(1)x，y都是正数，0，0，22，即2.当且仅当xy时，等号成立.(2)x，y都是正数，xy20，x2y220，x3y320.(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3.即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.当且仅当xy时，等号成立.(3)x，y，z都是正数，xy20，yz20，zx20.(xy)(yz)(zx)2228xyz.即(xy)(yz)(zx)8xyz.当且仅当xyz时等号成立.题型
5、三含条件的不等式的证明例3已知a，b，cR，且abc1，求证：9.证明abc1，3332229.当且仅当abc时，取等号.规律方法使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立.跟踪演练3已知a0，b0，ab1，求证：9.证明方法一因为a0，b0，ab1，所以112.同理12.所以(1)(1)(2)(2)52()549.所以(1)(1)9(当且仅当ab时等号成立).方法二(1)(1)111，因为a，b为正数，ab1，所以ab()2，于是4，8，因此(1)(1)189(当且仅当ab时等号成立
6、).课堂达标1.不等式m212m中等号成立的条件是()A.m1B.m1C.m1D.m0答案A2.若0abB.baC.baD.ba答案C解析0aab，b.ba0，aba2，a.故ba.3.设a，b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是()A.6B.4C.2D.8答案B解析ab3，2a2b2224.4.以下命题中正确的个数是_.yx2；若a0，b0且ab2，则ab1；的最小值为4；aR.a212a.答案2解析式在x0的条件下才成立，故错；式ab()21，故正确；24，且当x4时取等号，故正确；a212a(a1)20，故错.课堂小结1.两个不等式a2b22ab与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当ab时，；另一方面：当时，也有ab.2.由基本不等式变形得到的常见的结论 (1)ab2；(2) (a，bR).