1、10.3基本不等式及其应用(二)学习目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.知识链接1.已知x，y都是正数，若xys(和为定值)，那么xy有最大值还是最小值？如何求？答xy有最大值.由基本不等式，得sxy2，所以xy，当xy时，积xy取得最大值.2.已知x，y都是正数，若xyp(积为定值)，那么xy有最大值还是最小值？如何求？答xy有最小值.由基本不等式，得xy22.当xy时，xy取得最小值2.预习导引1.用基本不等式求最值的结论(1)设x，y为正实数，若xyp(积p为定值)，则当xy时，和xy有最小值，
2、且这个值为2.(2)设x，y为正实数，若xys(和s为定值)，则当xy时，积xy有最大值，且这个值为.2.基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值.(3)等号成立的条件是否满足.题型一基本不等式与最值例1(1)若x0，求函数yx的最小值，并求此时x的值；(2)设0x2，求x的最小值；(4)已知x0，y0，且1，求xy的最小值.解(1)当x0时，x24，当且仅当x，即x24，x2时，取等号.函数yx(x0)在x2时取得最小值4.(2)0x0，y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x，即x
3、时，等号成立.函数y4x(32x)(0x2，x20，xx22226，当且仅当x2，即x4时，等号成立.x的最小值为6.(4)方法一x0，y0，1，xy(xy)1021016，当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号.故当x4，y12时，(xy)min16.方法二由1，得(x1)(y9)9(定值).可知x1，y9，xy(x1)(y9)1021016，当且仅当x1y93，即x4，y12时，上式取等号，故当x4，y12时，(xy)min16.规律方法在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因
4、式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.跟踪演练1若x0，y0，且1，求xy及xy的最小值.解x0，y0，12，得xy64，当且仅当即时，取等号.x4，y16时，xy有最小值64；由x0，y0，正数x，y知，0，0，xy(xy)()1010218.当且仅当即时，取等号.x6，y12时，xy有最小值18.题型二基本不等式在实际问题中的应用例2某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元).(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；(2)该楼房
5、应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解(1)依题意得y(56048x)56048x(x10，xN*).(2)x0，48x21440，当且仅当48x，即x15时取到“”，此时，平均综合费用的最小值为56014402000(元).即当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元.规律方法利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.跟踪演练2要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容
6、器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元答案C解析设底面矩形的一条边长是xm，总造价是y元，把y与x的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知，体积V4m3，高h1m，所以底面积S4m2，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是m，又设总造价是y元，则y20410(2x)8020160，当且仅当2x，即x2时取得等号.例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3
7、x与t1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销售完.(1)将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用)解(1)由题意可设3x，将t0，x1代入，得k2.x3.设年生产x万件时，年生产成本为32x3323.当销售x(万件)时，年销售收入为15
8、0%t.由题意，生产x万件化妆品正好销售完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润y(t0).(2)y5050250242(万元)，当且仅当，即t7时，ymax42，当促销费投入7万元时，企业的年利润最大.规律方法应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).跟踪演练3一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要_小时.答案8解析设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t28(小时)，当且仅当，即v100
9、时，等号成立，此时t8小时.课堂达标1.已知正数x，y满足xy30，则xy的最大值为()A.15B.30C.225D.不存在答案C解析xy()2225，当且仅当xy15时“”成立，所以xy的最大值为225.2.若存在正数x使2x(xa)0，所以由2x(xa)1得xa0时，g(x)2x0，使2x(xa)1，则有a1，所以选D.3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m答案C解析设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab2，ab4，lab2426.828
10、(m).因为要求够用且浪费最少，故选C.4.已知a3，则a的最小值为_.答案7解a3，a30.aa33237，当且仅当a5时取等号.a的最小值为7.5.设0x2，则函数y的最大值为_.答案4解析0x2，03x20，y4，当且仅当3x83x，即x时，取等号.当x时，y有最大值4.课堂小结1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的拆项、添项、配凑、变形等方法创建应用基本不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数yx(p0)的单调性求得函数的最值.2.求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.