1、9.4分期付款问题中的有关计算学习目标1.能够建立等差数列模型解决生活中有关零存整取的问题.2.在了解储蓄及利息的计算方法的基础上能够建立等比数列模型解决储蓄中的自动转存、复利及分期付款问题知识链接1与日常经济生活有关的基本概念(1)增长率.(2)优惠率.(3)存款利率.(4)利息本金存期利率2什么情况下需要建立数列模型？答当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型预习导引1单利和复利用符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息的和(简称本利和)若按单利计算
2、，到期的本利和SP(1nr)；若按复利计算，到期的本利和SP(1r)n.2零存整取模型若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，规定每次存入的钱不计复利，则到期整取时所有本金为nx元，各月利息和为x元，全部取出的本利和为nxx元3定期自动转存模型如果储户存入定期为1年的P元存款，定期利率为r，约定了到期定期存款自动转存的储蓄业务，则连存n年后，储户所得本利和为P(1r)n.4分期付款问题在分期付款问题中，贷款a元，分m个月付清，月利率为r，每月付x元，货款a元m个月后本息和为a(1r)m；从第一个月开始每次付款x元，m个月后本息和为期数123本息和x(1r)m1x(1r)m2x(1
3、r)m3从而有：x(1r)m1(1r)m2(1r)m3(1r)1a(1r)m，x.题型一等差数列模型例1用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止商定年利率为10%，则第5次该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？解购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列an，则a12(255)10%4(万元)；a22(2552)10%3.8(万元)；a32(25522)10%3.6(万元)；an2255(n1)210%4(万元)(n1,2，10)因而数列an是首项
4、为4，公差为的等差数列a543.2(万元)S1010431(万元)31536(万元)，因此第5次该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元规律方法按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚：(1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式跟踪演练1一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个
5、水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解设共有n个水龙头，每个水龙头放水的分钟数从小到大依次为x1，x2，xn.由已知可知x2x1x3x2xnxn1，数列xn成等差数列，每个水龙头1 min放水(这里不妨设水池的容积为1)，(x1x2xn)1，24n，x1xn48.又xn5x1，6x148，xn40，故最后关闭的水龙头放水40 min.题型二等比数列模型例2借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051)解方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元
6、，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a0(11.011.015)a.由题意，可知a60，即1.016a0(11.011.015)a0，a.因为1.0161.061，所以a1 739.故每月应支付1 739元方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1104(10.01)61041.016(元)另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa1.0161102(
7、元)由S1S2，得a.得a1 739.故每月应支付1 739元规律方法解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和跟踪演练2陈老师购买工程集资房92 m2，单价为1 000元/m2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担房地产开发公司对教师实行分期付款(注)，经过一年付款一次，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算(注)，那么每年应付款多少元？(注)注分期付款，各期
8、所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息必要时参考下列数据：1.07591.917,1.075102.061，1.075112.216.解设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款及所生利息之和为x1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x1.0758元，第九年付款及其所生利息之和为x1.075元，第十年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为1 00092(28 80014 400)1.0751048 8001.07510(元)因此有x(11
9、.0751.07521.0759)48 8001.07510(元)，所以x48 8001.0751048 8002.0617.0681027 109(元)每年需付款7 109元题型三等差、等比数列在经济生活中的综合应用例3某工厂为提高产品质量，扩大再生产，需要大量资金，其中征地需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训15万元，该厂现有资金125万元，但流动资金需40万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4 000元，工人每人投资1 000元(不记利息仅在每年年底利润中分红)，尚缺少的资金，准备在今年年底向银行贷款，按年利率9 %的复利计算，若从
10、明年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，求该厂每年还贷多少万元？(精确到0.1万元)解因为扩大生产急需的资金共有40100601540255(万元)；已经筹集到的资金为1250.4300.1180155(万元)；资金缺口为：255155100(万元)设每次向银行还款x万元，则贷款100万元，五年一次还清本金和利息共计100(19%)5万元第一次还款到第五年的本利和为x(19%)4万元；第二次还款到第五年的本利和为x(19%)3万元；第三次还款到第五年的本利和为x(19%)2万元；第四次还款到第五年的本利和为x(19%)万元；第五次还款(无利息)为x万元由题意得xx(19%)x(19%
11、)2x(19%)3x(19%)4100(19%)5，即1001.095，x25.7(万元)跟踪演练3据美国学者詹姆斯马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，2020年甚至会达到每73天翻一番的空前速度因此，基础教育的任务已不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番试回答：(1)2009年底人类知识总量是多少？(2)2019年底人类知识总量是多少？(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是多少？解由于翻一番是在原
12、来的基础上乘以2，翻两番是在原来的基础上乘以22，翻n番是在原来的基础上乘以2n.于是(1)从2000年底到2009年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基础上，2009年底人类知识总量为23a8a.(2)从2009年底到2019年底是每一年翻一番，共翻十番，所以2019年底人类知识总量为8a2108 192a.(3)2020年是每73天翻一番，而2020年按365天计算，共翻五番，所以2020年底人类知识总量为8 192a25262 144a.课堂达标1一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上摆放的铅笔的总数为()A7
13、260B8 000C7 200D6 000答案A解析从下向上依次放了1,2,3，120支铅笔，共放了铅笔1231207 260(支)故选A.2某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是()A.B.C.1 D.1答案C解析设1月份产量为a，则12月份产量为ma，设月增长率为x，则a(1x)11ma，x1.3据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2014年产生的垃圾量为a吨由此预测，该区2019年的垃圾量为_吨答案a(1b)5解析由于2014年产生的垃圾量为a吨，由题意，得2015年的垃圾量为aaba(1b)，2016年产生的垃圾量为a(1b)a(1b
14、)ba(1b)2，由此得出该区2019年的垃圾量为a(1b)5.4银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于_答案(1r)31解析设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存，三年总收益为(1r)31；若按三年定期存款，三年的总收益为3q，为鼓励储户三年定期存款，应使3q(1r)31.即q(1r)31课堂小结数列应用问题的常见模型(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，其一般形式是：an1and(常数)例如：银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和ya(1xr)(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定百分数时，该模型是等比模型，其一般形式是：100%q(常数)例如：银行储蓄复利公式ya(1r)x.产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值yN(1p)x.(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加，同时又以一个固定的具体量增加或减少，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等