1、8.3解三角形的应用举例(一)学习目标1.能够运用正弦、余弦定理解决与方位角有关的航海问题.2.会利用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决与方位角有关的距离问题.知识链接在下列各小题的空白处填上正确答案：(1)如图所示，坡角是指坡面与水平面的夹角.(如图所示)(2)如上图，坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，即itan (i为坡比，为坡角).(3)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线.预习导引1.方位角从指正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角，叫做方位角.2.方向角指北或指南的方向线与目标线所成的小于90的水平角，叫做方向角，它是方位角的另一种表示形式.题型一
2、正弦、余弦定理在航海中的应用例1如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t海里，BD10t海里，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcosA(1)2222(1)2cos1206.BC海里.又，sinABC，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在
3、BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶.又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小时15分钟.缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.规律方法航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题.跟踪演练1甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，则在ABC中，B
4、Cat海里，ACat海里，B9030120，由得：sinCAB.0CAB90，CAB30.DAC603030.所以甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇.题型二正弦、余弦定理在测量距离中的应用例2某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？解如图所示，易知CAD253560，在BCD中，cosB，所以sinB.在ABC中，AC24(千米).由BC2AC2AB22ACABcosCAB得AB224AB3850，解得AB35
5、或AB11(舍去).ADABBD15(千米).故此人在D处距A还有15千米.规律方法由问题中的有关量提炼出三角形中的元素，用正弦、余弦定理解三角形.跟踪演练2已知A船在灯塔C北偏东80方向，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40方向，A、B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为_km.答案1解析如图，由题意可得ACB120，AC2，AB3.设BCx，则由余弦定理可得：AB2BC2AC22BCACcos120，即3222x222xcos120，整理得x22x5，解得x1.课堂达标1.已知两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观测站C的北偏东40，灯塔B在观测站C的南
6、偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西10答案B解析如下图，因ABC为等腰三角形，所以CBA(18080)50，605010，故选B.2.一艘海轮从A处出发，以40nmile/h的速度沿南偏东40方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观测灯塔，其方向是南偏东70，在B处观测灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A.10nmileB.10nmileC.20nmileD.20nmile答案A解析如图所示，由已知条件可得，CAB30，ABC105，AB4020(nmile).BCA45.由正弦定理可得.BC10(
7、nmile).3.某人向正东方向行走了xkm后，向右转150，然后再走3km，此时与出发点恰好相距km，则x_.答案或2解析如图，由题意知，ABxkm，BC3km，ACkm，ABC30，由余弦定理得：()2x23223xcos30，即x23x60，解得x或x2.4.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos的值.解在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos1202800，BC20由正弦定理，sinACBsinBAC.BAC120，则ACB为锐角，cosACB.coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin30.课堂小结1.在解三角形时，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.