1、9.3等比数列(四)学习目标1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决等比数列前n项和的有关问题知识链接上一节我们学习了等比数列的前n项和公式，那么该公式与相应的函数有怎样的关系？等比数列的前n项和又有怎样的性质？如何利用这些性质解题？预习导引1等比数列的前n项和的变式(1)等比数列an的前n项和为Sn，当公比q1时，Sn；当q1时，Snna1.(2)当公比q1时，等比数列的前n项和公式是Sn，它可以变形为Snqn，设A，上式可写成SnAqnA.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数
2、当公比q1时，因为a10，所以Snna1与n成正比2等比数列前n项和的性质(1)连续m项的和(如Sm、S2mSm、S3mS2m)，仍构成等比数列(注意：q1或m为奇数)(2)SmnSmqmSn(q为数列an的公比)(3)若an是项数为偶数、公比为q的等比数列，则q.题型一等比数列前n项和Sn的函数特征例1设f(n)2242723n1 (nN*)，则f(n)等于()A.(8n1) B.(8n11)C.(8n21) D.(8n31)答案B解析f(n)2242723n1(8n11)规律方法数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n项和公式都是关于n的函数所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基
3、本方法跟踪演练1若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.答案解析显然q1，此时应有SnA(qn1)，又Sn3nt，t.题型二等比数列前n项和性质的应用例2已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：SSSn(S2nS3n)证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a，SSSn(S2nS3n)当q1时，Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2
4、n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)方法二根据等比数列性质，有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSSSn(1qn)2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n)SSSn(S2nS3n)规律方法运用等比数列的前n项和公式要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元跟踪演练2在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.解因为S2n2Sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn.将代入得64，所以S3n6463.题型三等差、等比数列前n项和的综合问题例3
5、已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an2(nN*)，在数列bn中，b11，点P(bn，bn1)在直线xy20上(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记Tna1b1a2b2anbn，求Tn.解(1)由Sn2an2，得Sn12an12(n2)，两式相减得an2an2an1，即2(n2)，又a12a12，a12，an是以2为首项，以2为公比的等比数列，an2n.点P(bn，bn1)在直线xy20上，bnbn120，即bn1bn2，bn是等差数列，b11，bn2n1.(2)Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n2Tn122323524(2n3)2n(2n1)2n1得：Tn122(22
6、232n)(2n1)2n122(2n1)2n1242n8(2n1)2n1(32n)2n16Tn(2n3)2n16.规律方法等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错跟踪演练3在等比数列an中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2an，数列bn的前n项和为Sn，当最大时，求n的值解(1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25，又an0，a3a55.又a3与a5的等比中项为2，a3a54，而q(0,1)，a3a
7、5，a34，a51.q，a116，an16n125n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，bn是以b14为首项，1为公差的等差数列，Sn，当n8时，0；当n9时，0；当n9时，0，则lg an构成等差数列. 2等比数列中用到的数学思想(1)分类讨论的思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10,0q1时为递增数列；当a11或a10,0q1时为递减数列；当q0且q1)常和指数函数相联系；等比数列的前n项和Sn(1qn) (q1)设A，则SnAqnA也与指数函数相联系(3)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解