1、9.3等比数列(三)学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题知识链接1求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列an，当q1，Sna1a1qa1q2a1qn1a1q(a1a1qa1qn1a1qn1)a1q(Sna1qn1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？答由Sna1q(Sna1qn1)，得(1q)Sna1a1qn.所以Sn.2在等比数列an中，若q1，则有q.由等比性质，得q，至此你能用a1和q表示出Sn吗？答由q，得q，于是Sn.预习导引1等比数列前n项和公式(1)在等比数列an中，若公比q1，则其前n项和S
2、nna1.(2)在等比数列an中，若公比q1，则其前n项和Sn.2等比数列前n项和公式的变式若an是等比数列，且公比q1，则前n项和Sn(1qn)AAqn.其中A.3错位相减法推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.题型一等比数列前n项和公式的基本运算例1在等比数列an中，(1)若q2，S41，求S8；(2)若a1a310，a4a6，求a4和S5.解(1)方法一设首项为a1，q2，S41，1，即a1，S817.方法二S41，且q2，S8(1q4)S4(1q4)1(124)17.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即a10,1q20，得
3、，q3，即q，a18.a4a1q3831，S5.规律方法(1)在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量；这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论跟踪演练1已知等比数列an中，a34，a764.(1)求数列an的通项an；(2)求数列an的前n项和Sn.解(1)设等比数列an的公比为q，a34，a764，解得a11，q2.当q2时，an12n12n1，当q2时，an1(2)n1(2)n1.(2)当q2时，Sn2n1；当q2时，Sn.题型
4、二错位相减法求和例2求和：Snx2x23x3nxn (x0)解分x1和x1两种情况当x1时，Sn123n.当x1时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1.Sn.综上可得Sn规律方法一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法跟踪演练2求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和解(1)当a0时，Sn1.(2)当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)，则Snn2.(3)当a1且a0时，有Sn13a5a27a3(2n1)an1aSna3a25a37a4(2n
5、1)an得SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an，(1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1)1(2n1)an21(2n1)an，又1a0，Sn.综上，Sn题型三等比数列前n项和公式的应用例3设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项；(2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由已知得解得a22.设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q，又S37，可知22q7，即2q25q20.解得q12，q2.由题意得q1，q2，a11.故数列an的通项为an2n1
6、.(2)由于bnln a3n1，n1,2，由(1)得a3n123n，bnln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2，bn是等差数列，Tnb1b2bnln 2.故Tnln 2.规律方法(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点(2)利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解跟踪演练3已知Sn是无穷等比数列an的前n项和，且公比q1，已知1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3
7、的等比中项(1)求S2和S3；(2)求此数列an的前n项和Sn；(3)求数列Sn的前n项和解(1)根据已知条件整理得解得3S22S36，即(2)q1，则可解得q，a14.Sn()n.(3)由(2)得S1S2Snnn1()n.课堂达标1等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn为()A.B.C.D.答案C解析当x1时，Snn；x1时，Sn.2设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则等于 ()A2 B4 C. D.答案C解析S4，a2a1q，.3若一个等比数列的前4项的和为，公比为，则其首项为_答案1解析由题知，所以a11.4已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5_.答案31解析由a2a32a1，得aq32a1，所以a42.又因a4与2a7的等差中项为，所以a42a7，则有a7，所以q3，q，a116，S531.课堂小结1在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”2前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况3一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法