1、10.2一元二次不等式(一)学习目标1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式的方法.3.培养利用数形结合、分类讨论的思想方法解一元二次不等式的能力.知识链接下列说法不正确的有_.(1)方程2x23x20有两个不等的实根；(2)方程x22x10有一个实数根；(3)方程x2x20没有实数根；(4)二次函数yax2bxc，则y0恒成立(5)二次函数yax2bxc，则y0，故正确；(2)由于0，所以方程有两个相等实根，故错误；(3)由于0，所以函数的图象在x轴上方，故正确；(5)由于y0，所以函数的图象在x轴下方，则a0，b24ac000)的图象ax2bxc
2、0(a0)的根有两相异实根x1，x2有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xRax2bxc0)的解集x|x1x0)有两个不等的实数根x1，x2，且x10的解集为x|xx2；ax2bxc0的解集为x|x1x6；(2)4x24x10；(3)x27x6.解(1)由x25x6，得x25x60.x25x60的两根是x1或6.原不等式的解集为x|x6.(2)4x24x10，即(2x1)20，方程(2x1)20的根为x.4x24x10的解集为.(3)由x27x6，得x27x60，而x27x60的两个根是x1或6.不等式x27x60的解集为x|1x0；(2)x23x50；(3)(5x)
3、(x1)0.解(1)方程2x2x60的判别式(1)24260，函数y2x2x6的图象开口向上，与x轴无交点.原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x26x100，(6)24040.解a216，下面分情况讨论：当0，即4a4时，方程2x2ax20无实根，所以原不等式的解集为R.当0，即a4或a4时，方程2x2ax20的两个根为x1(a)，x2(a).当a4时，原不等式的解集为x|xR，且x1；当a4时，原不等式的解集为x|x(a)；当a4时，原不等式的解集为x|xR，且x1.规律方法含参数不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去
4、此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小).另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式.跟踪演练2解关于x的不等式(aR)ax2(a1)x10.解若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，解(x1)1时，1，解(x1)0得x1；当0a1，解(x1)0得1x.综上所述：当a1；当0a1时，解集为.题型三“三个二次”间对应关系的应用例3若不等式ax2bxc0的解集为x|x(0).求不等式cx2bxa0的解集为x|x(0)，a0.根据一元二次方程的根与
5、系数的关系，得即a0，c0.由，得().又由，得.将不等式cx2bxa0.由得：，是方程x2x0的两个根，且0.不等式x2x0的解集为.规律方法求一般的一元二次不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)的解集，先求出一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.跟踪演练3已知关于x的不等式x2axb0的解集.解由根与系数的关系，可得即不等式bx2ax10，就是2x23x10.由于2x23x10，得(2x1)(x1)0，x1.bx2ax10的解集为(1，).课堂达标1.不等式2x2x10的解集是()A.B.(1，)C.(，1)(2，)D.(1
6、，)答案D解析2x2x10，即(2x1)(x1)0，解得x1，不等式的解集为(1，).2.不等式6x2x20的解集是()A.B.C.x|xD.x|x答案B解析6x2x20，6x2x20，(2x1)(3x2)0，x或x.3.若不等式ax28ax210的解集是x|7x1，那么a的值是()A.1B.2C.3D.4答案C解析由题可知7和1为ax28ax210的两个根，7(1)，a3.4.不等式x2x20的解集为_.答案(2,1)解析易得方程x2x20的两根为2,1，所以不等式x2x20)的根，并画出对应函数yax2bxc图象的简图；由图象得出不等式的解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.当m0，则可得xn；若(xm)(xn)0，则可得mx0，a0)，一根(0)，无根(x2，x1x2，x1x2.