1、9.2等差数列(二)学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题知识链接在等差数列an中，若已知首项a1和公差d的值，由通项公式ana1(n1)d可求出任意一项的值，如果已知am和公差d的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？预习导引1等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是关于n的常数函数；当d0时，an是关于n一次的函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点2等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列an中，已知a1，
2、d, am, an(mn)，则d从而有anam(nm)d.(2)项的运算性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.3等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和即a1ana2an1a3an2.(2)若an、bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)(3)an的公差为d，则d0an为递增数列；d0，d1，故所求的四
3、个数为2,0,2,4.方法二若设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为d)，依题意，2a3d2，且a(a3d)8，把a1d代入a(a3d)8，得8，即1d28，化简得d24，所以d2或2.又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d2，故所求的四个数为2,0,2,4.题型三由递推关系式构造等差数列求通项例3已知数列an满足a1，且当n1，nN*时，有，设bn，nN*.(1)求证：数列bn为等差数列；(2)试问a1a2是否是数列an中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由(1)证明当n1，nN*时，224bnbn14，且b15.bn是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解由(1)知bnb
4、1(n1)d54(n1)4n1.an，nN*.a1，a2，a1a2.令an，得n11.即a1a2a11，a1a2是数列an中的项，是第11项规律方法已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力跟踪演练3在数列an中，a12，an1an2n1.(1)求证：数列an2n为等差数列；(2)设数列bn满足bn2log2(an1n)，求bn的通项公式(1)证明(an12n1)(an2n)an1an2n1(与n无关)，故数列an2n为等差数列，且公差d1.(2)解由(1)可知，an2n(a12)(n1)dn1，
5、故an2nn1，所以bn2log2(an1n)2n.题型四等差数列的实际应用例4甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个请你根据提供的信息说明，求：(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；(3)哪一年的规模最大？请说明理由解由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为an，公差为d1，且a11，a62；从第1年到第6年的养鸡场个数也
6、成等差数列，记为bn，公差为d2，且b130，b610；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列cn，则cnanbn.(1)由a11，a62，得a21.2；由b130，b610，得b226.所以c2a2b21.22631.2.所以第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)c6a6b621020c1a1b130，所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了(3)an1(n1)0.20.2n0.8，bn30(n1)(4)4n34(1n6)，cnanbn(0.2n0.8)(4n34)0.8n23.6n27.2(1n6)对称轴为n，所以当n2时，cn最大所以第2年的规模最大规律
7、方法本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华跟踪演练4某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则anan120，(n2，nN*)，每年获利构成等差数列an，且首项a1200，公差d20，所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，则
8、该公司经销这一产品将亏损，由an20n22011，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损课堂达标1在等差数列an中，a1a910，则a5的值为()A5B6C8D10答案A解析a1a92a510，a55.2在等差数列an中，已知a42，a814，则a15等于()A35B35C23D23答案A解析由a8a44d12，得d3，所以a15a8(158)d147335.3由公差d0的等差数列a1，a2，an组成一个新的数列a1a3，a2a4，a3a5，下列说法正确的是()A新数列不是等差数列B新数列是公差为d的等差数列C新数列是公差为2d的等差数列D新数列是公差为3d的等差数列答案C解析(an1an3
9、)(anan2)(an1an)(an3an2)2d，数列a1a3，a2a4，a3a5，是公差为2d的等差数列4已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，则这三个数依次为_答案4,6,8解析设这三个数为ad，a，ad，由已知得由得a6，代入得d2.该数列是递增数列，d0，即d2.这三个数依次为4,6,8.课堂小结1在等差数列an中，当mn时，d为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为aman(mn)d.2等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列3等差数列an中，若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)，特别地，若mn2p，则anam2ap.4在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体代换，以减少计算量