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9.2 等差数列(二)学案(含答案)

1、9.2等差数列(二)学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题知识链接在等差数列an中,若已知首项a1和公差d的值,由通项公式ana1(n1)d可求出任意一项的值,如果已知am和公差d的值,有没有一个公式也能求任意一项的值?由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质?预习导引1等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)d,当d0时,an是关于n的常数函数;当d0时,an是关于n一次的函数;点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点2等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广:在等差数列an中,已知a1,

2、d, am, an(mn),则d从而有anam(nm)d.(2)项的运算性质:在等差数列an中,若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq.3等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和即a1ana2an1a3an2.(2)若an、bn分别是公差为d,d的等差数列,则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数,kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p,q为常数)(3)an的公差为d,则d0an为递增数列;d0,d1,故所求的四

3、个数为2,0,2,4.方法二若设这四个数为a,ad,a2d,a3d(公差为d),依题意,2a3d2,且a(a3d)8,把a1d代入a(a3d)8,得8,即1d28,化简得d24,所以d2或2.又四个数成递增等差数列,所以d0,所以d2,故所求的四个数为2,0,2,4.题型三由递推关系式构造等差数列求通项例3已知数列an满足a1,且当n1,nN*时,有,设bn,nN*.(1)求证:数列bn为等差数列;(2)试问a1a2是否是数列an中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由(1)证明当n1,nN*时,224bnbn14,且b15.bn是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知bnb

4、1(n1)d54(n1)4n1.an,nN*.a1,a2,a1a2.令an,得n11.即a1a2a11,a1a2是数列an中的项,是第11项规律方法已知数列的递推公式求数列的通项时,要对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项,需掌握常见的几种变形形式,考查学生推理能力与分析问题的能力跟踪演练3在数列an中,a12,an1an2n1.(1)求证:数列an2n为等差数列;(2)设数列bn满足bn2log2(an1n),求bn的通项公式(1)证明(an12n1)(an2n)an1an2n1(与n无关),故数列an2n为等差数列,且公差d1.(2)解由(1)可知,an2n(a12)(n1)dn1,

5、故an2nn1,所以bn2log2(an1n)2n.题型四等差数列的实际应用例4甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个请你根据提供的信息说明,求:(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由;(3)哪一年的规模最大?请说明理由解由题干图可知,从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列,记为an,公差为d1,且a11,a62;从第1年到第6年的养鸡场个数也

6、成等差数列,记为bn,公差为d2,且b130,b610;从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列cn,则cnanbn.(1)由a11,a62,得a21.2;由b130,b610,得b226.所以c2a2b21.22631.2.所以第2年养鸡场的个数为26个,全县出产鸡的总只数是31.2万只;(2)c6a6b621020c1a1b130,所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了(3)an1(n1)0.20.2n0.8,bn30(n1)(4)4n34(1n6),cnanbn(0.2n0.8)(4n34)0.8n23.6n27.2(1n6)对称轴为n,所以当n2时,cn最大所以第2年的规模最大规律

7、方法本题可以按照解析几何中的直线问题求解,但是,如果换个角度,利用构造等差数列模型来解决,更能体现出等差数列这一函数特征这种解答方式的转变,同学们要在学习中体会,在体会中升华跟踪演练4某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元,从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?解由题意可知,设第1年获利为a1,第n年获利为an,则anan120,(n2,nN*),每年获利构成等差数列an,且首项a1200,公差d20,所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0,则

8、该公司经销这一产品将亏损,由an20n22011,即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损课堂达标1在等差数列an中,a1a910,则a5的值为()A5B6C8D10答案A解析a1a92a510,a55.2在等差数列an中,已知a42,a814,则a15等于()A35B35C23D23答案A解析由a8a44d12,得d3,所以a15a8(158)d147335.3由公差d0的等差数列a1,a2,an组成一个新的数列a1a3,a2a4,a3a5,下列说法正确的是()A新数列不是等差数列B新数列是公差为d的等差数列C新数列是公差为2d的等差数列D新数列是公差为3d的等差数列答案C解析(an1an3

9、)(anan2)(an1an)(an3an2)2d,数列a1a3,a2a4,a3a5,是公差为2d的等差数列4已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,则这三个数依次为_答案4,6,8解析设这三个数为ad,a,ad,由已知得由得a6,代入得d2.该数列是递增数列,d0,即d2.这三个数依次为4,6,8.课堂小结1在等差数列an中,当mn时,d为公差公式,利用这个公式很容易求出公差,还可变形为aman(mn)d.2等差数列an中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列3等差数列an中,若mnpq,则amanapaq(m,n,p,qN*),特别地,若mn2p,则anam2ap.4在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体代换,以减少计算量