1、74几何问题的代数解法学习目标 1理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题2进一步掌握用解析法处理平面几何问题 预习导引1解决几何问题的基本方法解析法解析法是解决解析几何、立体几何等问题的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法2用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”为：(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；(2)通过代数运算，解决代数问题；(3)把代数运算结果“翻译”成几何结论并作答题型一用解析法证明几何问题例1ABD和BCE是边AB，BC在直线AC上且位于直线AC同侧的两个等边三角形，用坐
2、标法证明：|AE|CD|.证明如图，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立直角坐标系设ABD和BCE的边长分别为a，c，则A(a，0)，E(，c)，C(c，0)，D(，a)，于是|AE|.|CD|.所以|AE|CD|.规律方法坐标法的基本步骤第一步：建立适当的坐标系用坐标表示有关量第二步：进行有关代数运算第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系跟踪演练1在ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2|AD|2|BD|DC|，求证：ABC为等腰三角形证明如图，作AOBC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系设A(0，a)，B(b，0)，C
3、(c，0)，D(d，0)因为|AB|2|AD|2|BD|DC|，所以由两点间的距离公式，得b2a2d2a2(db)(cd)，即(db)(bd)(db)(cd)，又db0，故bdcd，即bc.所以ABC为等腰三角形题型二代数问题的几何解法例2求函数y的值域解显然函数的定义域为R，y.设P(x，0)，A(，)，B(，)为平面上三点，则|PA|，|PB|.y|PB|PA|.|PB|PA|AB|，且|AB|1，|y|1，即1yr，直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响规律方法先以台风中心为原点建立适当的坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示，然后把此实际问题转化为数学问题来解决跟踪演练3有弱、强两
4、个喇叭在A，O两处，若它们的强度之比为14，且相距60 m，问在什么位置听到两个喇叭传来的声音强度是相等的？(假设声音强度与距离的平方成反比)解以直线OA为x轴，O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系则O(0，0)，A(60，0)设在P(x，y)处听到O，A两处的喇叭声音强度相等由题设知，即，整理，得(x20)2y2402.故P点的轨迹是以(20，0)为圆心，40为半径的圆，也就是在此圆周上听到的声音强度相等.课堂达标1过点A(1，4)作圆(x2)2(y3)21的切线，则A到切点的距离为()A. B3 C. D5答案B解析设圆心C(2，3)，则|AC|，点A到切点的距离即切线长l3.2圆x2y2
5、1上的点到直线3x4y250的距离的最小值是()A6 B4 C5 D1答案B解析圆心到直线3x4y250的距离为5.则圆上的点到直线3x4y250的距离的最小值为514.3已知圆x2y22x4y40关于直线y2xb成轴对称，则b_.答案4解析已知圆的圆心为(1，2)，且点(1，2)在直线y2xb上，则22b，b4.4若点P(x，y)在圆C：(x2)2y23上，则的最大值是_答案解析半径长|PC|，|OC|2，是圆上的点与原点连线的斜率当OP与圆上方相切时，此时斜率最大，则POC60，tan POC.5点P在圆O：x2y21上运动，点Q在圆C：(x3)2y21上运动，则|PQ|的最小值为_答案1解析如下图设连心线OC与圆O交于点P，与圆C交于点Q，当点P在P处，点Q在Q处时|PQ|最小，最小值为|PQ|OC|r1r21.课堂小结1利用数形结合思想求某些二元代数式的最值是直线和圆的方程的一个重要应用，它是利用代数式的几何意义转化为斜率、截距、距离等来求解2利用坐标法解决平面几何问题，将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题适当建系时，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中点为原点，使其具有对称性，这样便于设坐标很多实际问题也可采用这种方法转化