1、72.4直线的斜率第1课时倾斜角与斜率学习目标 1理解直线的倾斜角和斜率的概念2掌握求直线斜率的两种方法 预习导引1直线的倾斜角(1)当直线l与x轴相交时，它的倾斜角就是x轴绕交点沿逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角当直线与x轴平行或重合时，规定倾斜角0(2)倾斜角的范围：0.2斜率的概念及斜率公式定义倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率，记为k，即ktan_取值范围当0时，k0；当090时，k0；当90180时，k0；当90时，斜率不存在过两点的直线的斜率公式直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k(x1x2)题型一直线的倾斜角例1设直线l过
2、坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45B135C135D当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾角为135答案D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0135，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.故选D.规律方法1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答2求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论跟踪演练1一条直线l与x轴相交，其向上的方向与
3、y轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为()A B180C180或90 D90或90答案D解析如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90.故选D.题型二直线的斜率例2已知直线l过P(2，1)，且与以A(4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围解根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线PA的斜率kPA，直线PB的斜率kPB，结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90，故斜率的取值范围为，当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90增大到PA的倾斜角，故斜率的变
4、化范围是.综上可知，直线l的斜率的取值范围是.规律方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解跟踪演练2已知两点A(3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围解如图所示，由题意可知kPA1，kPB1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1，或k1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的
5、倾斜角是135，所以的取值范围是45135.题型三斜率公式的应用例3已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值解如图所示，由于点(x，y)满足关系式2xy8，且2x3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2，4)，B(3，2)由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以可求得的最大值为2，最小值为.规律方法若所求最值或范围的式子可化为的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解跟踪演练3已知实数x，y满足yx2x2(1x1)，试求的最大值和最小值解由的几何意义可知，它表示经过定点P(2，3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的
6、斜率k，由图可知kPAkkPB，由已知可得A(1，2)，B(1，4)则kPA，kPB7.k7，的最大值为7，最小值为.课堂达标1下图中能表示直线l的倾斜角的是()A B C D答案A解析结合直线l的倾斜角的概念可知只有可以，选A.2已知直线l的倾斜角为30，则直线l的斜率为()A. B. C1 D.答案A解析由题意可知，ktan 30.3过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为45，则y()A B. C1 D1答案C解析tan 45kAB，即1，所以y1.4直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A090 B90180C90180 D0180答案C解析直线倾斜角的取值范围是0
7、180，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90180.5如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为_答案k1k3k2解析设l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3，则由图可知032901tan 30，tan 10，故k1k3k2.课堂小结1倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度2直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系3运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k应注意的问题：(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2x1，y2y1中x2与y2对应，x1与y1对应)(2)运用斜率公式的前提条件是“x1x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90，斜率不存在