1、62.1点、线、面的位置关系(二)学习目标 1了解直线与平面之间的三种位置关系，会用符号语言和图形语言表示三种位置关系2能用公理3解决一些简单的相关问题3能用图形、文字、符号三种语言描述公理4.理解公理4的地位和作用4了解定理1.(等角定理) 知识链接公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面预习导引1直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有无数个公共点a直线与平面相交有且只有一个公共点aA直线与平面平行没有公共点a2.公理3(平行公理)(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行，这个性
2、质也叫作空间平行线的传递性(2)符号语言：设a，b，c为直线，则ac3公理4(1)文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的交集是一条过该点的直线(2)符号语言：P，且Pl，且Pl.4定理1(等角定理)(1)文字语言：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(2)符号语言：已知在AOB和AOB中，AOAO，BOBO，则AOBAOB或AOBAOB180.如图(1)、(2)所示题型一直线与平面、平面与平面位置关系的画法例1指出图中的图形画法是否正确，若不正确，请你画出正确图形解(1)(2)(3)的图形画法都不正确，正确画法如图所示规律方法(1)画直线a在平面内时，表
3、示直线a的直线只能在表示平面的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延展而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在其外(2)在画直线a与平面相交时，表示直线a的直线必须有部分在表示平面的平行四边形之外，这样做既能与表示直线在平面内的图形区分开来，又使之具有较强的立体感，注意此时被平面遮住的部分必须画成虚线(3)画直线与平面平行时，最直观的图形是直线画在表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行跟踪演练1作出下列各小题的图形(1)画直线a，b，使aA，b；(2)画平面，直线a，b，使l，a，b，且a，bB.解题型二直线与平面的位置关系例2
4、以下命题(其中a，b表示直线，表示平面)，若ab，b，则a；若a，b，则ab；若ab，b，则a；若a，b，则ab.其中正确命题的个数是()A0个 B1个 C2个 D3个答案A解析如图，在长方体ABCDABCD中，ABCD，AB平面ABCD，但CD平面ABCD，故错误；AB平面ABCD，BC平面ABCD，但AB与BC相交，故错误；ABAB，AB平面ABCD，但AB平面ABCD，故错误；AB平面ABCD，BC平面ABCD，但AB与BC异面，故错误规律方法空间直线与平面的位置关系的分类是问题求解的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决另外，借助模型(如长方体)也是解决这类问题的有效方法跟踪演练
5、2对于任意的直线l和平面，在平面内必有直线m，使m和l()A平行 B相交 C垂直 D异面解析若l，则直线l与平面无公共点，因此，直线l与平面内的直线无公共点，即直线l与平面内的所有直线均不相交；若l，则直线l和平面内的直线共面，因此，直线l与平面内的所有直线不能是异面直线；若lA，则直线l和平面内的直线相交或异面，因此，直线l与平面内的所有直线不平行所以选项A，B，D都不正确故选C.答案C题型三公理3及等角定理的应用例3如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD.证明(1)
6、如图所示，连结EF，FG，GH，HE，在ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，EHBD，同理FGBD，EHFG，E，F，G，H四点共面(2)由(1)知EHBD，同理GHAC.又四边形EFGH是矩形，EHGH，ACBD.规律方法证明两直线平行的方法：平行线的定义：在同一平面内没有公共点的两直线是平行直线利用三角形中位线平行于底边这一性质利用公理3.利用平行四边形对边互相平行的性质跟踪演练3如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E，E1，F分别是棱AD，A1D1，BC的中点求证：(1)E1C1綊AF；(2)BECB1E1C1.证明(1)连结EE1，EC，因为F为BC的中点，E为AD的中点，
7、所以AE綊FC，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF綊EC.因为E1为A1D1的中点，所以EE1綊DD1，又DD1綊CC1，所以EE1綊CC1，所以四边形ECC1E1为平行四边形，所以E1C1綊EC，所以E1C1綊AF.(2)因为E1，E分别为A1D1，AD的中点，所以A1E1綊AE，所以四边形A1E1EA为平行四边形，所以A1A綊E1E.又A1A綊B1B，所以E1E綊B1B，所以四边形E1EBB1是平行四边形，所以E1B1EB，同理E1C1EC.又B1E1C1与BEC的两边方向都相同，所以BECB1E1C1. 课堂达标1过平面外一点，可作这个平面的平行线条数为()A1条 B2条 C无数条
8、 D不确定答案C解析两平行平面，过其一平面内任一点可作无数条直线与另一平面无交点，即平行2在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的交集是一条过该点的直线答案A解析结合平面的基本性质求解A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B是平面的基本性质公理；C是平面的基本性质公理；D是平面的基本性质公理3将“如果两个不重合的平面，有一个公共点P，那么它们有且只有一条过该点的公共直线l.”改写成符号语言表述应为_答案Pl
9、且Pl解析两个不重合的平面，有一个公共点P，P，又P点在平面，的交线l上，l且Pl.4在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EFGHP，则点P一定在直线_上答案AC解析EFGHP，EF平面ABC，P平面ABC.又GH平面ACD，P平面ACD.平面ABC平面ACDAC，PAC.5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线(1)DBC的两边与_的两边分别对应平行且方向相同；(2)DBC的两边与_的两边分别对应平行且方向相反答案(1)D1B1C1(2)B1D1A1解析(1)B1D1BD，B1C1BC并且方
10、向相同，所以DBC的两边与D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同(2)D1B1BD，D1A1BC并且方向相反，所以DBC的两边与B1D1A1的两边分别对应平行且方向相反课堂小结1直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行后面两种关系又统称为直线在平面外2证明空间两条直线平行的方法有两个：一是利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理等)证明；二是利用公理3，就是需要找到第三条直线c，证ac，bc，由公理3得到ab.3证明两角相等，一般采用下面三种途径：(1)三角形全等与相似(2)平行四边形的对角线或平行线与第三条直线相交所得内错角、同位角(3)等角定理