1、2018-2019学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的1（5分）已知集合M2，0，2，4，Nx|x2x60，则MN（）A0，2B0，2，4C0D2，0，22（5分）复数z（i为虚数单位），则|z|（）A5BC2D13（5分）小聪要举办一项户外活动，由于多种原因，小聪只能从10位小伙伴中随机邀请其中6位参加该项活动，则甲乙两位都被邀请或都不被邀请的概率为（）ABCD4（5分）已知等差数列an的公差为1，若a31，a51，a91成等比数列，则an的前15项和S15（）A120B110C1
2、00D905（5分）如图是某几何体的三视图，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）ABC16D86（5分）已知函数f（x）在区间5，5上是奇函数，且在区间0，5上为单调函数，f（3）f（1），则（）Af（1）f（3）Bf（1）f（0）Cf（1）f（1）Df（5）f（3）7（5分）在ABC中，D是BC边上的点，且，E为AD的中点，则（）ABCD8（5分）已知函数f（x）2cos2x+sin2x+2sinx1，则f（x）的最大值为（）A0BC6D39（5分）（1+2x+）（1x）6展开式中x2的系数为（）A15B30C18D4210（5分）已知四边形ABCD是边长为a的正方形，沿着对
3、角线AC对折使得BDa，若三棱锥DABC外接球的体积为，则a（）A2BC4D211（5分）设F1，F2是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）0（O为坐标原点）且|2|，则双曲线的离心率为（）ABCD+112（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f（x+2）f（x2），且当x2，0时，f（x）（）x1，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）0（a1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A（1，2）B（2，+）C（1，）D（，2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若x，y满足约束条件，则zy2x的最小
4、值为 14（5分）已知函数f（x），则f（16）+f（） 15（5分）抛物线y22px（p0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足AFB设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最小值是 16（5分）在ABC中，角A、B，C的对边分别为a，b，c，且ac，若a2+c24ac，cos2A+cos2C0，则A 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知an是各项均为正数的等比数列，设a
5、n的前n项和为Sn，若S24，S313（1）求数列an的通项公式；（2）设bn（2n1）log3a2n+2，数列的前n项和为Tn，证明：Tn18（12分）如图，四边形ABMN是矩形，且3AB2AN，点C是MN的中点，以AC与BC为折痕，将ACN和BCM折起，使点M、重合于点D（1）求证：平面BCD平面ABD；（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值19（12分）从某企业所生产的某种产品中随机抽取500件，并对这些产品的质量指标值x及落在不同指标区间所需的生产工时y（单位：min）进行测量，测量结果如表：质量指标值x165，175）175，185）185，195）195，205）205，215）2
6、15，225）225，235）产品数（件）10451101651204010生产工时y（min）15182127303642（1）若产品质量指标值不低于215为优质品某用户从该企业购买了3件这种产品，记X表示这3件产品中的优质品数，求X（单位：件）的分布列及数学期望；（2）现该企业计划开发质量指标x235，245）的高端产品，为了预测高端产品的生产工时，画出了关于质量指标值x（同一质量指标区间的数据用该区间的中点值作代表）与生产工时y的散点图，如图由散点图可以看出y与x之间有线性相关关系请建立y关于x的线性回归方程，并预测产品质量指标值x240的生产工时附注：参考公式：回归方程中斜率和截距的最
7、小二乘估计公式分别为：，a20（12分）已知椭圆E：（ab0）经过点P（2，），且离心率e（1）求椭圆E的标准方程；（2）过椭圆E内一点M（1，3）的直线与椭圆E交于不同的A，B两点，交直线yx于点N，若m，n，求证：m+n为定值，并求出此定值21（12分）已知函数f（x）ax2（a+2）x+lnx，其中aR（1）当a0时，若f（x）在区间1，e上的最小值为2，求a的取值范围；（2）若对于任意x2x10，f（x1）f（x2）2x22x1恒成立，求a的取值范围选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标
8、系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为cos24asin（a0），直线l的参数方程为（t为参数）（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）已知直线l与曲线C交于M，N两点，P（2，1），若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+1|ax1|（1）当a1时，求不等式f（x）2的解集；（2）当x（，0）时，不等式f（x）2x成立，求实数a的取值范围2018-2019学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题
9、给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的1（5分）已知集合M2，0，2，4，Nx|x2x60，则MN（）A0，2B0，2，4C0D2，0，2【分析】先求出集合M，N，由此能求出MN【解答】解：集合M2，0，2，4，Nx|x2x60x|2x3，MN2，0，2故选：D【点评】本题考查交集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）复数z（i为虚数单位），则|z|（）A5BC2D1【分析】利用分式的运算法则进行化简，结合复数模长公式进行计算即可【解答】解：z+i1+i+i1+2i，则|z|，故选：B【点评】本题主要考查复数模长的计算，利用复数的运算法则进行化简
10、是解决本题的关键3（5分）小聪要举办一项户外活动，由于多种原因，小聪只能从10位小伙伴中随机邀请其中6位参加该项活动，则甲乙两位都被邀请或都不被邀请的概率为（）ABCD【分析】设A表示“甲乙两位都被邀请或都不被邀请”，则A包含的基本事件个数为70+2898个，又基本事件的总数为210个，代入概率公式即可【解答】解：依题意，所有的基本事件共有210个，设A表示“甲乙两位都被邀请或都不被邀请”，则A包含的基本事件个数为70+2898个，所以P（A）故选：D【点评】本题考查了古典概型的概率计算，考查了计数原理属于基础题4（5分）已知等差数列an的公差为1，若a31，a51，a91成等比数列，则an的
11、前15项和S15（）A120B110C100D90【分析】由已知列式求得a5，进一步求得a1，再由等差数列的前n项和求解【解答】解：在等差数列an中，由d1，得a3a52，a9a5+4，又a31，a51，a91成等比数列，（a53）（a5+3），解得：a55a1a54d1则故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，是中档题5（5分）如图是某几何体的三视图，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）ABC16D8【分析】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为5，求出底面积，用棱锥的体积公式求出体积【解答】解：由三视图可以判定出这是一个底面
12、为四边形的四棱锥，其高h为5，底面四边形的面积S12，体积V16，故选：C【点评】本题考查了通过三视图识别几何体的形状求其体积6（5分）已知函数f（x）在区间5，5上是奇函数，且在区间0，5上为单调函数，f（3）f（1），则（）Af（1）f（3）Bf（1）f（0）Cf（1）f（1）Df（5）f（3）【分析】奇函数在区间0，5上是单调函数，且f（3）f（1），可得函数f（x）在区间5，5上是单调减函数，即可得出结论【解答】解：奇函数在区间0，5上是单调函数，且f（3）f（1），函数f（x）在区间5，5上是单调减函数，13，f（1）f（3），故选：A【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生的
13、计算能力，比较基础7（5分）在ABC中，D是BC边上的点，且，E为AD的中点，则（）ABCD【分析】可通过向量加法将向量化简，最终落脚点在和向量即可得出所求【解答】解：+（）+（）+故选：A【点评】本题主要考察向量的线性运算，对向量加法和减法的运用较为灵活，属于基础题8（5分）已知函数f（x）2cos2x+sin2x+2sinx1，则f（x）的最大值为（）A0BC6D3【分析】将cos2x12sin2x代入f（x）中，然后转化为关于sinx的二次函数形式，然后根据二次函数的图象与性质可得f（x）的最大值【解答】解：f（x）2cos2x+sin2x+2sinx12（12sin2x）+sin2x+
14、2sinx13sin2x+2sinx+1，sinx1，1，当sinx时，故选：B【点评】本题考查了三角函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，考查了转化思想和转化法，属基础题9（5分）（1+2x+）（1x）6展开式中x2的系数为（）A15B30C18D42【分析】由二项式定理及展开式的通项公式得：展开式中x2的系数为（1）2+2（1）+（1）418，得解【解答】解：由（1x）6展开式的通项为：Tr+1（1）rxr得：（1+2x+）（1x）6展开式中x2的系数为（1）2+2（1）+（1）418，故选：C【点评】本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，属中档题10（5分）已知四边形ABCD是边长为
15、a的正方形，沿着对角线AC对折使得BDa，若三棱锥DABC外接球的体积为，则a（）A2BC4D2【分析】如图，由正方形的性质可以求得其对角线长度是，折起后的图形中，DEBE，而折叠后ABCADC不变，可得AC中点E为三棱锥DABC外接球的球心，得到半径，再由体积相等列式求a值【解答】解：如图，由题意知DEBE，BDa，由勾股定理可证得BED90，又正方形ABCD翻折后，ADDC，ABBC，故AC的中点E为三棱锥DABC外接球的球心，半径为BE故三棱锥DABC的外接球的体积为，解得：a2故选：D【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，解题的关键是正确理解图形，是基础题11（5分）设F1，F2是双
16、曲线（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）0（O为坐标原点）且|2|，则双曲线的离心率为（）ABCD+1【分析】取PF2的中点A，可得+2，利用（+）0，可得，从而可得PF1PF2，利用双曲线的定义及勾股定理，由离心率公式计算可得结论【解答】解：取PF2的中点A，则+2，（+）0，20，O是F1F2的中点，OAPF1，PF1PF2，|PF1|2|PF2|，2a|PF1|PF2|PF2|，|PF1|2+|PF2|24c2，ca，e故选：A【点评】本题考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，利用向量确定PF1PF2是关键12（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意xR
17、，都有f（x+2）f（x2），且当x2，0时，f（x）（）x1，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）0（a1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A（1，2）B（2，+）C（1，）D（，2）【分析】根据函数的奇偶性和对称性可以得到函数是周期函数，然后将方程转化为两个函数，利用数形结合以及两个函数图象的交点个数，求得，由此求得a的范围【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f（x+2）f（x2），f（x2）f（x+2）f（2x），即f（x）f（x+4），即函数的周期是4当 x0，2时，x2，0，此时f（x）（）x1f（x），即f（x）2x1，且当x2
18、，0时，f（x）（）x1分别作出函数f（x）（图中黑色曲线）和yloga（x+2）（图中红色曲线）图象如图：由在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）0（a1）有3个不同的实数根，可得函数f（x）和yloga（x+2）图象有3个交点，故有，求得a2，故选：D【点评】本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数的奇偶性和对称性的性质求出函数的周期性，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若x，y满足约束条件，则zy2x的最小值为2【分析】先根据条件画出可行域，设zy2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的
19、截距最小，只需求出直线zy2x，过可行域内的点A（2，2）时的最小值，从而得到z最小值即可【解答】解：x，y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y2x0经过点A（2，2）时，y2x最小，最小值为：2，则目标函数zy2x的最小值为2故答案为：2【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定14（5分）已知函数f（x），则f（16）+f（）2【分析】推导出f（16）log2164，f（）2，由此能求出f（16）+f（）的值【解答】解：函数f（x），f（16）log2164，f（）2，f（16）+f（）422
20、故答案为：2【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基本知识体现运算能力、逻辑推理等数学核心素养15（5分）抛物线y22px（p0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足AFB设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最小值是1【分析】设|AF|a，|BF|b，连接AF、BF由抛物线定义得2|MN|a+b，由余弦定理可得|AB|2（a+b）23ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|a，|BF|b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|AQ|+|BP|a+b由余弦定理得，|
21、AB|2a2+b22abcos60a2+b2ab，配方得，|AB|2（a+b）23ab，又ab（）2，（a+b）23ab（a+b）2（a+b）2（a+b）2得到|AB|（a+b）则1则的最小值是1故答案为：1【点评】本题考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题16（5分）在ABC中，角A、B，C的对边分别为a，b，c，且ac，若a2+c24ac，cos2A+cos2C0，则A【分析】由题意知cos2Acos2C，得出CA；再根据a2+c24ac，得出sin2A+cos2A4sinAcosA，求得sin2A以及A的值【解答】解：ABC中，ac，cos
22、2A+cos2C0，则cos2Acos2C；又0A，02A，2A2C，CA；又a2+c24ac，sin2A+sin2C4sinAsinC，即sin2A+cos2A4sinAcosA，2sin2A1，sin2A，2A或2AA或A（不合题意，舍去）即A故答案为：【点评】本题考查了解三角形的应用问题，是基础题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知an是各项均为正数的等比数列，设an的前n项和为Sn，若S24，S313（1）求数列an的通项公式；（2）设bn
23、（2n1）log3a2n+2，数列的前n项和为Tn，证明：Tn【分析】本题第（1）题可根据等比数列的前n项和公式进行代入，联立S24，S313可得关于q的一元二次方程，再根据an是各项均为正数的等比数列取得q的一个正值，再将求得的q值代入S24可得a1的值，即可写出数列an的通项公式；第（2）题可根据第（1）题可得出bn的表达式，然后写出，根据表达式的特点进行裂项，在求和时相消，即可证明结论【解答】解：（1）由题意，可知：S24，S313化简整理，得：4q29q90解得：q，或q3an是各项均为正数的等比数列，q3将q3代入4，可得：a11数列an的通项公式为an3n1（2）证明：由（1），可
24、知：bn（2n1）log3a2n+2，（2n1）log332n+1（2n1）（2n+1）Tn+（1+）（1）Tn【点评】本题第（1）题主要考查等比数列的性质，求前n项和公式的运用，通项公式的相关概念；第（2）题主要考查对数的化简运算，裂项相消法求和的应用本题属中档题18（12分）如图，四边形ABMN是矩形，且3AB2AN，点C是MN的中点，以AC与BC为折痕，将ACN和BCM折起，使点M、重合于点D（1）求证：平面BCD平面ABD；（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值【分析】（1）可得DCDB，DCDA，即可得DC平面DAB，平面BCD平面ABD；（2）由VCABDVDABC，则AD与平面A
25、BC所成角的正弦值为【解答】证明：（1）DCDB，DCDA，DBDAD，DC平面DAB，CD面BCD，平面BCD平面ABD；（2）3AB2AN，令AB2，AN3，在ABD中，ADBD3，AB2，SABD2，在ABC中，AB边上的高为AN3，则SABC3，由VCABDVDABC，则AD与平面ABC所成角的正弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查空间中线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）从某企业所生产的某种产品中随机抽取500件，并对这些产品的质量指标值x及落在不同指标区间所需的生产工时y（单位：min）进行测量，测量结果如表：质量指标值x165，175）175，185）
26、185，195）195，205）205，215）215，225）225，235）产品数（件）10451101651204010生产工时y（min）15182127303642（1）若产品质量指标值不低于215为优质品某用户从该企业购买了3件这种产品，记X表示这3件产品中的优质品数，求X（单位：件）的分布列及数学期望；（2）现该企业计划开发质量指标x235，245）的高端产品，为了预测高端产品的生产工时，画出了关于质量指标值x（同一质量指标区间的数据用该区间的中点值作代表）与生产工时y的散点图，如图由散点图可以看出y与x之间有线性相关关系请建立y关于x的线性回归方程，并预测产品质量指标值x240
27、的生产工时附注：参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，a【分析】（1）优质品率为，设随机变量X表示这3件产品中的优质品数，则XB（3，），根据二项分布的相关知识解决即可；（2）分布计算出、，代入为的公式即可求出的值，进而根据a求出a，即可得到回归方程，将回归方程中的x带成240即可预测当产品质量指标值x240的生产工时【解答】解：（1）依题意，产品质量指标值不低于215为优质品故优质品率为，设随机变量X表示这3件产品中的优质品数，则XB（3，），所以P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），所以随机变量X的分布列为：X0123P E（X）3（2）由题意，200，27，
28、17015+18018+19021+20027+21030+220362304239060，1702+1802+1902+2002+2102+2202+2302282800，所以0.45，a270.4520063，所以y关于x的线性回归方程为0.45x63，所以可以预测当产品质量指标值x240时的生产工时为：0.452406345【点评】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，二项分布，回归分析，回归方程的求法等属于中档题解题时要认真审题，准确把握题意20（12分）已知椭圆E：（ab0）经过点P（2，），且离心率e（1）求椭圆E的标准方程；（2）过椭圆E内一点M（1，3）的直线与椭圆E交于不同的
29、A，B两点，交直线yx于点N，若m，n，求证：m+n为定值，并求出此定值【分析】（1）由已知列方程组，得到参数a，b的值，写出方程即可；（2）分别设出A，B，N的坐标，由向量等式把A的坐标用N的坐标表示，得到关于m，n的两个一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明结果为定值【解答】解：（1）由已知得，解得a4，c2，b212，椭圆的标准方程为（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），N（）由，得，点A在椭圆上，得到；同理，由，可得m，n可看作是关于x的方程的两个根，则m+n为定值【点评】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的关系，向量的知识等，属于综合题，难度中等21（12分）已知函数f（
30、x）ax2（a+2）x+lnx，其中aR（1）当a0时，若f（x）在区间1，e上的最小值为2，求a的取值范围；（2）若对于任意x2x10，f（x1）f（x2）2x22x1恒成立，求a的取值范围【分析】（1）对f（x）求导，并令导函数为0，得到或，分类讨论与区间1，e的关系，得到a的取值范围；（2）令g（x）f（x）+2x，则只需g（x）在（0，+）上单调递增即可；对g（x）求导，分类讨论当a0时与当a0时的情况，即可得到a的取值范围【解答】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+）；当a0时，（x0）；令f（x）0，解得或；当，即a1时，f（x）在1，e上单调递增；f（x）在1，e上的最小值是
31、f（1）2，符合题意；当，即时，f（x）在1，e上的最小值是f（1）2，不合题意；但，即时，f（x）在1，e上单调递减；f（x）在1，e上的最小值是f（e）f（1）2，不合题意；综上所述，a的取值范围是1，+）；（2）解：令g（x）f（x）+2x，则g（x）ax2ax+lnx；只需g（x）在（0，+）上单调递增即可；当a0时，此时g（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，只需g（x）0在（0，+）上恒成立；x（0，+）只需2ax2ax+10；a0；对于函数y2ax2ax+1，过定点（0，1），对称轴为，只需a28a0，解得0a8；综上所述，a的取值范围是0，8【点评】本题考查了利用导数求函数的
32、极值，判断增减性，涉及分类讨论，属难题选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为cos24asin（a0），直线l的参数方程为（t为参数）（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）已知直线l与曲线C交于M，N两点，P（2，1），若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；（2）直接利用|PM|，|MN|，|PN|成等比数列
33、，进一步利用直线和曲线的位置关系和一元二次方程根和系数关系的应用求出a的值【解答】解：（1）由cos24asin，得2cos24asin，曲线C的直角坐标方程为x24ay（a0）；由（t为参数），消去参数t，可得xy+10即直线l的普通方程为xy+10；（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入曲线x24ay得到（a+1）t+8（a+1）0，（t1和t2为M、N对应的参数）（a+1），t1t28（a+1），由于：|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，整理得：32（a+1）240（a+1），解得：a【点评】本题主要考查极坐标和参数方程的基础知识体现直观想象、运算能力、逻辑推理的核心素养，是中档题
34、选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+1|ax1|（1）当a1时，求不等式f（x）2的解集；（2）当x（，0）时，不等式f（x）2x成立，求实数a的取值范围【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解最后取并集，（2）根据绝对值定义将不等式化简，分离变量转化为对应函数最值问题，即得结果【解答】解：（1）当a1时，f（x）|2x+1|x1|，由f（x）2，得或或，解得x或或，不等式f（x）2的解集为（2）当x时，不等式f（x）2等价于2x+1|ax12x，即|ax1|1，1ax11，即0ax2，x，a0，又由x，得，4a0，a的取值范围是4，0）【点评】本题考查解含绝对值不等式以及函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题