1、2018-2019学年广东省广州市海珠区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z（）A1iB1+iC1+iD1i2（5分）若函数f（x）的导函数的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）Af（x）cosxBf（x）x5+x2Cf（x）1+sin2xDf（x）exx3（5分）设XN（1，12），YN（2，22），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（A12，12BP（X1）P（X2）C12，12DP（Y1）P（X2）4（5分）安排4名志愿者完成5
2、项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A120种B180种C240种D480种5（5分）近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升某品牌公司一直默默拓展海外市场，在海外设了多个分支机构，现需要国内公司外派大量中青年员工该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从中青年员工中随机调查了100位，得到数据如表：愿意被外派不愿意被外派合计中年员工202040青年员工402060合计6040100由并参照附表，得到的正确结论是（）附表P（K2k0）0.100.010.001k02.7066
3、.63510.828A在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“是否愿意外派与年龄有关”B在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“是否愿意外派与年龄无关”C有99% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关”D有99% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄无关”6（5分）（x2y）5的展开式中x2y3的系数是（）A20B5C5D207（5分）在5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，如果不放回地依次抽取2张牌，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为（）ABCD8（5分）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中出现，它比西方的“帕斯卡三角
4、形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记an为图中第n行各个数之和，Sn为an的前n项和，则S10（）A1024B1023C512D5119（5分）若函数至少有1个零点，则实数a的取值范围是（）A（，1）B0，1）CD10（5分）某射手每次射击击中目标的概率为p，这名射手进行了10次射击，设X为击中目标的次数，DX1.6，P（X3）P（X7），则p（）A0.8B0.6C0.4D0.211（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对其中所成的角为60的共有（）A24对B30对C48对D60对12（5分）设函数（aR，e为自然对数的底数），若曲线上存在点（x0，y0）使得f（y0）y0，则a
5、的取值范围是（）ABC1，e+1D1，e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.13（5分）已知i为虚数单位，复数z2+ai（aR）在复平面内对应的点在直线x3y+10上，则z的共轭复数 14（5分）记曲线y与直线x2，y0所围成封闭图形的面积为S，则S 15（5分）直角三角形ABC中，两直角边分别为a、b，则ABC外接圆面积为类比上述结论，若在三棱锥ABCD中，DA、DB、DC两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的表面积为 16（5分）若曲线C与直线l满足：l与C在某点P处相切；曲线C在P附近位于直线l的异侧，
6、则称C与直线“切过”下列曲线和直线中，“切过”的有 （填写相应的编号）yx3与y0y（x+2）2与x2yex与yx+1ysinx与yxytanx与yx三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值18（12分）已知函数f（x）x3x（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间1，2上的最大值和最小值19（12分）某
7、厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为现有10件产品，其中7件是一等品，3件是二等品（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；（2）随机选取3件产品，（ i）记一等品的件数为X，求X的分布列；（ ii）求这三件产品都不能通过检测的概率20（12分）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若B是A，C的等差中项，sinB是sinA，sinC的等比中项，求证：ABC为等边三角形；（2）若ABC为锐角三角形，求证：tanAtanB121（12分）近年来，人们对食品安全越来越重视，有机蔬菜的需求也越来越大，国家也制定出台了一系列
8、支持有机肥产业发展的优惠政策，鼓励和引导农民增施有机肥，“藏粮于地，藏粮于技”根据某种植基地对某种有机蔬菜产量与有机肥用量的统计，每个有机蔬菜大棚产量的增加量y（百斤）与使用有机肥料x（千克）之间对应数据如表：使用有机肥料x（千克）345678910产量增加量y（百斤）2.12.93.54.24.85.66.26.7（1）根据表中的数据，试建立y关于x的线性回归方程（精确到0.01）；（2）若种植基地每天早上7点将采摘的某有机蔬菜以每千克10元的价格销售到某超市，超市以每千克15元的价格卖给顾客已知该超市每天8点开始营业，22点结束营业，超市规定：如果当天16点前该有机蔬菜没卖完，则以每千克5
9、元的促销价格卖给顾客（根据经验，当天都能全部卖完）该超市统计了100天该有机蔬菜在每天的16点前的销售量（单位：千克），如表：每天16点前的销售量（单位：千克）100110120130140150160频数10201616141410若以100天记录的频率作为每天16点前销售量发生的概率，以该超市当天销售该有机蔬菜利润的期望值为决策依据，说明该超市选择购进该有机蔬菜110千克还是120千克，能使获得的利润更大？附：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考数据：，22（12分）已知（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1x2）为f（x）的两个极值点，求证：2xf（x
10、1）+f（x2）k（ln2x+1）2018-2019学年广东省广州市海珠区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z（）A1iB1+iC1+iD1i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由，得z故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题2（5分）若函数f（x）的导函数的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）Af（x）cosxBf（x）x5+x2Cf（x）1+sin2xDf（x）exx【分析】
11、函数f（x）的导函数的图象关于y轴对称，则f'（x）为偶函数，选出导数是偶函数的即可【解答】解：Af'（x）sinx，为奇函数，关于原点对称，故A错；Bf'（x）5x4+2x，为非奇非偶函数，故B错；Cf'（x）2cos2x，为偶函数，关于y轴对称，故C对；Df'（x）ex1，为非奇非偶函数，故D错故选：C【点评】本题考查了函数的奇偶性与对称性之间的关系，属基础题3（5分）设XN（1，12），YN（2，22），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（A12，12BP（X1）P（X2）C12，12DP（Y1）P（X2）【分析】由两曲线的对称轴判断
12、12，再由图象的高瘦与矮胖判断12，然后利用面积关系得答案【解答】解：由图可得，12，12，排除A，C；再由正态分布曲线的对称性，可知P（Y1）P（X1）P（X2）故选：D【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题4（5分）安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A120种B180种C240种D480种【分析】根据题意，分2步进行分析：先将5项工作分成4组，再将分好的4组全排列，对应4名志愿者，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2步进
13、行分析：、先将5项工作分成4组，有C5210种分组方法，、将分好的4组全排列，对应4名志愿者，有A4424种情况，则有1024240种不同的安排方式；故选：C【点评】本题考查排列、组合的应用，注意题目中“每人至少完成1项，每项工作由1人完成”的要求5（5分）近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升某品牌公司一直默默拓展海外市场，在海外设了多个分支机构，现需要国内公司外派大量中青年员工该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从中青年员工中随机调查了100位，得到数据如表：愿意被外派不愿意被外派合计中年员工202
14、040青年员工402060合计6040100由并参照附表，得到的正确结论是（）附表P（K2k0）0.100.010.001k02.7066.63510.828A在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“是否愿意外派与年龄有关”B在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“是否愿意外派与年龄无关”C有99% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关”D有99% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄无关”【分析】根据列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论【解答】解：根据列联表中的数据，计算K22.7782.706，所以在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“是否愿意外派与年龄有关”故选：A【点评
15、】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题6（5分）（x2y）5的展开式中x2y3的系数是（）A20B5C5D20【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可【解答】解：由二项式定理可知：Tr+1，要求解（x2y）5的展开式中x2y3的系数，所以r3，所求系数为：20故选：A【点评】本题考查二项式定理的通项公式的应用，基本知识的考查7（5分）在5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，如果不放回地依次抽取2张牌，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为（）ABCD【分析】此是一个条件概率模型的题，可以求出事件A：不放回地依次抽取2张牌，抽到“红心”的
16、概率，事件B：抽到一个“红心”的概率，再用条件概率公式求出概率【解答】解：5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，由题意事件A：不放回地依次抽取2张牌，抽到“红心”的概率，P（A）；事件B：抽到一个“红心”的概率，再用条件概率公式求出概率P（AB），在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为：P（B|A）；故选：D【点评】本题考查条件概率计算公式，解题的关键是正确理解事事件A事件B发生的概率及P（B|A），中档题8（5分）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中出现，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记an为图中
17、第n行各个数之和，Sn为an的前n项和，则S10（）A1024B1023C512D511【分析】由题意可得an2n1，nN*，由等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：由题意可得an2n1，nN*，即有S101023故选：B【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题9（5分）若函数至少有1个零点，则实数a的取值范围是（）A（，1）B0，1）CD【分析】设，由题意，函数ya的图象与函数的图象至少有一个交点，利用数形结合思想，通过观察图象即可求得实数a的取值范围【解答】解：设，则原函数等价为g（t）lnta|t|lntat，令g（t）0，则，由题意，函数ya
18、与函数的图象至少有一个交点，令h（t）0，解得te，当x（0，e）时，h（t）0，函数h（t）单调递增，当x（e，+）时，h（t）0，函数h（t）单调递减，且，t0时，h（t），t+时，h（t）0作草图如下，由图可知，要使函数ya与函数至少有一个交点，则，故选：C【点评】本题考查导数的运用，考查换元法及数形结合思想的运用，难度不大解决这类题的方法一般是分离参数，利用数形结合，研究两个简单函数的图象的位置关系即可10（5分）某射手每次射击击中目标的概率为p，这名射手进行了10次射击，设X为击中目标的次数，DX1.6，P（X3）P（X7），则p（）A0.8B0.6C0.4D0.2【分析】随机变量X
19、B（10，p），所以DX10p（1p）1.6，所以p0.2或p0.8，又P（X3）P（X7），即，所以p0.8【解答】解：依题意，X为击中目标的次数，所以随机变量XB（10，p），所以DX10p（1p）1.6，所以p0.2或p0.8，又因为P（X3）P（X7），即，所以1pp，即p，所以p0.8故选：A【点评】本题考查了二项分布的概率求法，二项分布的方差属于中档题11（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对其中所成的角为60的共有（）A24对B30对C48对D60对【分析】利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对
20、，共有66条，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3618从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对其中所成的角为60的共有：661848故选：C【点评】本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键12（5分）设函数（aR，e为自然对数的底数），若曲线上存在点（x0，y0）使得f（y0）y0，则a的取值范围是（）ABC1，e+1D1，e【分析】法一：由题意可得y0sin（x0+）1，1，而由可知y00，1，由y00，1时，可求A，B错；当ae+1时，f（x），当y00，1时，由f（1）01，可得C错即可得解选
21、D；法二：问题转化为f（t）t在0，1上有解，由，得t2et+ta，分离变量，得ag（t）ett2+t，t0，1求导，可得1g（0）g（t）g（1）e，即a1，e，从而得解；【解答】解：法一：由题意可得，sin（x0+）1，1，而由可知y00，1，当a0时，f（x）为增函数，y00，1时，不存在y00，1使f（y0）y0成立，故A，B错；当ae+1时，f（x），当y00，1时，只有y01时f（x）才有意义，而f（1）01，故C错故选D法二：显然，函数f（x）是增函数，f（x）0，从而以题意知y00，1于是，问题转化为f（t）t在0，1上有解由，得t2et+ta，分离变量，得ag（t）ett2+
22、t，t0，1因为g'（t）et2t+10，t0，1，所以，函数g（t）在0，1上是增函数，于是有1g（0）g（t）g（1）e，即a1，e，应选D故选：D【点评】本题是一个函数综合题，解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点，结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项，本题考查了转化的思想，观察探究的能力，属于考查能力的综合题，易因为找不到入手处致使无法解答失分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.13（5分）已知i为虚数单位，复数z2+ai（aR）在复平面内对应的点在直线x3y+10上，则z的共轭复数2i【分析】求出z的坐标，代入直线x3y+1
23、0求得a，得到复数z，再由共轭复数的概念得答案【解答】解：复数z2+ai（aR）在复平面内对应的点（2，a）在直线x3y+10上，23a+10，即a1z2+i，则故答案为：2i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题14（5分）记曲线y与直线x2，y0所围成封闭图形的面积为S，则S【分析】依照题意画出的图象，利用定积分计算图象与x2，y0所围成封闭图形的面积【解答】解：S故答案为：【点评】本题考查定积分、微积分的基本定理，难度不大15（5分）直角三角形ABC中，两直角边分别为a、b，则ABC外接圆面积为类比上述结论，若在三棱锥ABC
24、D中，DA、DB、DC两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的表面积为（a2+b2+c2）【分析】由题意把A、B、C、D构造棱长分别为a，b，c的长方体，求出体对角线为外接球的直径，然后求出球的表面积【解答】解：以两两垂直的三条侧棱为棱，构造棱长分别为a，b，c的长方体，利用勾股定理可得：其长方体体对角线为：就是该三棱锥的外接球直径，则三棱锥外接球的半径：所以三棱锥外接球的表面积：S4R2（a2+b2+c2）；故答案为：（a2+b2+c2）；【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养16（5分）若曲线C与直线l满足：l与C在某点P处相切；曲线C
25、在P附近位于直线l的异侧，则称C与直线“切过”下列曲线和直线中，“切过”的有（填写相应的编号）yx3与y0y（x+2）2与x2yex与yx+1ysinx与yxytanx与yx【分析】利用函数的导数，求解切线的斜率，结合新定义，逐一判断选项的正误，推出结果即可【解答】解：对于，所以l：y0是曲线C：yx3在点P（0，0）处的切线，画图可知曲线C：yx3在点P（0，0）附近位于直线l的两侧，正确；对于，因为，所以l：x2不是曲线C：y（x+2）2在点P（2，0）处的切线，错误；对于，在P（0，1）的切线为yx+1，画图可知曲线C在点P（0，1）附近位于直线l的同侧，错误；对于，在点P（0，0）处的
26、切线为l：yx，画图可知曲线C：ysinx在点P（0，0）附近位于直线l的两侧，正确；对于，在点P（0，0）处的切线为l：yx，图可知曲线C：ytanx在点P（0，0）附近位于直线l的两侧，正确故答案为：【点评】本题考查命题的真假，函数的导数的应用，新定义的理解与应用，考查转化思想以及计算能力三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值【分
27、析】（1）直接把直线参数方程中此时t消去，可得直线的普通方程，把右边展开两角和的正弦，再两边同时乘以，得22cos+2sin，结合x2+y22，xcos，ysin，可得曲线C的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，然后利用根与系数的关系及此时t的几何意义求解【解答】解：（1）由直线l的参数方程（t为参数），消去参数t得y2（x1），即直线l普通方程为2xy20对于曲线C，由，得2cos+2sin，22cos+2sin，x2+y22，xcos，ysin，曲线C的直角坐标方程为x2+y22x2y0；（2）将代入C的直角坐标方程x2+y22x2y0，
28、整理得，【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是参数方程中此时t的几何意义的应用，是中档题18（12分）已知函数f（x）x3x（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间1，2上的最大值和最小值【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可【解答】解：（1）令f（x）3x22x0，可得x0或x，令f（x）0，解得：0x，所以f（x）的递增区间为（，0），（，+），递减区间为（0，）（2）由（1）知：x0，分别是f（x）的极大值点和极小值点，所以f（x）极大值f（
29、0）0，f（x）极小值f（），而f（1）2，f（2）4，所以f（x）最大值f（2）4，f（x）最小值f（1）2【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用，是一道基础题19（12分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为现有10件产品，其中7件是一等品，3件是二等品（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；（2）随机选取3件产品，（ i）记一等品的件数为X，求X的分布列；（ ii）求这三件产品都不能通过检测的概率【分析】（1）设随机选取一件产品，能通过检测的事件为A，事件A等于事件“选取一等品都通过或者选取二等品通过检
30、测”，由此能求出能够通过检测的概率（2）（ i）X的可能取值为0，1，2，3分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列为（ii）设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B，事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”，【解答】解：（1）设随机选取一件产品，能通过检测的事件为A，事件A等于事件“选取一等品都通过或者选取二等品通过检测”，则（2）（ i）X的可能取值为0，1，2，3，故X的分布列为X0123P（ii）设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B，事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”，所以，【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求
31、法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若B是A，C的等差中项，sinB是sinA，sinC的等比中项，求证：ABC为等边三角形；（2）若ABC为锐角三角形，求证：tanAtanB1【分析】（1）由等差数列，三角形的内角和定理可求，根据等比中项和正弦定理得b2ac，由余弦定理ac，进而可求，即可得证ABC为等边三角形（2）解法1：利用同角三角函数基本关系式，三角形的内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可得要证tanAtanB1，cosC0，根据C为锐角，由cosC0，可得原命题得证；解法2：由
32、C为锐角，根据诱导公式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可证明【解答】证明：（1）由A，B，C成等差数列，有2BA+C，因为A，B，C为ABC的内角，所以A+B+C，由得，由sinB是sinA，sinC的等比中项和正弦定理得，b是a，c的等比中项，所以：b2ac，由余弦定理及，可得：b2a2+c22accosBa2+c2ac，再由，得 a2+c2acac，即：（ac）20，因此：ac，从而AC，由，得：，所以ABC为等边三角形（2）解法1：要证 tanAtanB1，只需证，因为A、B、C都为锐角，所以cosA0，cosB0，故只需证 si
33、nAsinBcosAcosB，只需证 cosAcosBsinAsinB0，即证 cos（A+B）0，因为A+BC，所以即证 cos（C）0，即证：cosC0，因为 C为锐角，显然cosC0，故原命题得证，即tanAtanB1，解法2：因为 C为锐角，所以 cosC0，因为 C（A+B），所以cos（A+B）0，即：cos（A+B）0，展开得 cosAcosBsinAsinB0，所以 sinAsinBcosAcosB，因为A、B、C都为锐角，所以cosA0，cosB0，所以 ，即tanAtanB1【点评】本题主要考查了等差数列的性质，等比中项和正弦
34、定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题21（12分）近年来，人们对食品安全越来越重视，有机蔬菜的需求也越来越大，国家也制定出台了一系列支持有机肥产业发展的优惠政策，鼓励和引导农民增施有机肥，“藏粮于地，藏粮于技”根据某种植基地对某种有机蔬菜产量与有机肥用量的统计，每个有机蔬菜大棚产量的增加量y（百斤）与使用有机肥料x（千克）之间对应数据如表：使用有机肥料x（千克）345678910产量增加量y（百斤）2.12.93.54.24.85.66.26.7（1）根据表中的数据，试建立y关于x的线性回归
35、方程（精确到0.01）；（2）若种植基地每天早上7点将采摘的某有机蔬菜以每千克10元的价格销售到某超市，超市以每千克15元的价格卖给顾客已知该超市每天8点开始营业，22点结束营业，超市规定：如果当天16点前该有机蔬菜没卖完，则以每千克5元的促销价格卖给顾客（根据经验，当天都能全部卖完）该超市统计了100天该有机蔬菜在每天的16点前的销售量（单位：千克），如表：每天16点前的销售量（单位：千克）100110120130140150160频数10201616141410若以100天记录的频率作为每天16点前销售量发生的概率，以该超市当天销售该有机蔬菜利润的期望值为决策依据，说明该超市选择购进该有机
36、蔬菜110千克还是120千克，能使获得的利润更大？附：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考数据：，【分析】（1）计算出，再结合，代入公式即可求出，代入公式即可求出，即可得到回归方程；（2）记X1为当天的利润（单位：元），则P（X1450），P（X1550），所以E（X1）450540，记X2为当天的利润（单位：元），则X2所以可能的取值分别为400，500，600分别求出对应概率，列出分布列求出E（X2），与E（X1）对比即可【解答】解：（1）6.5，4.5因为42，所以 0.66，4.50.666.50.21所以y关于x的线性回归方程为，（2）
37、若该超市一天购进110千克这种有机蔬菜，若当天的需求量为100千克时，获得的利润为：100（1510）（110100）（105）450（元）；若当天的需求量大于等于110千克时，获得的利润为：110（1510）550（元），记X1为当天的利润（单位：元），则X1的分布列为X1450550PX1数学期望是EX1450540，若该超市一天购进120千克这种有机蔬菜，若当天的需求量为100千克时，获得的利润为：100（1510）（120100）（105）400（元）；若当天的需求量为110千克时，获得的利润为：110（1510）（120110）（105）500（元）；若当天的需求量大于或等于120千
38、克时，获得的利润为：120（1510）600（元），记X2为当天的利润（单位：元），则X2的分布列为X2400500600PX2数学期望是EX2400560，因为 EX2EX1所以 选择购进该有机蔬菜120千克，能使得获得的利润更大【点评】本题考查了回归分析，回归方程的求法，离散型随机变量的概率分布列与数学期望，利用期望进行决策等，本题属于中档题22（12分）已知（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1x2）为f（x）的两个极值点，求证：2xf（x1）+f（x2）k（ln2x+1）【分析】（1）求出，令g（x）2x2+（4+k）x+2，对称轴为，通过当，推出
39、f（x）在（0，+）上单调递增 当，f（x）在（0，x1）和（x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减（2），当k8时，f'（x）0有两个不相等的正实数根x1，x2，则，原不等式等价于证明不等式：2kxk（ln2x+1），也就是要证明：对任意x0，有2xln2x+1 令g（x）ln2x2x+1（x0），通过函数的导数转化证明即可【解答】解：（1），令g（x）2x2+（4+k）x+2，对称轴为，当，即k4时，g（x）的对称轴小于等于0，又g（0）20，所以 g（x）0在（0，+）上恒成立，故 f'（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增当，即k4时，g（x）的
40、对称轴大于0令g（x）0，（4+k）216k（k+8），令0，得k8或k0（ i）当8k4时，0，g（x）0，从而f'（x）0，此时f（x）在（0，+）上单调递增（ ii）当k8时，0，令g（x）0，解得，当0xx1或xx2时，f'（x）0当x1xx2时，f'（x）0所以 f（x）在（0，x1）和（x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减综上所述，当k8时，f（x）在（0，x1）和（x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减（其中，）；当k8时，f（x）在（0，+）上为单调增函数（2）证明：，由（1）知，当k8时，f'（x）0有两个不相等的正实数根x1，x2，则，而故欲证原不等式等价于证明不等式：2kxk（ln2x+1），因为k8，所以也就是要证明：对任意x0，有2xln2x+1令g（x）ln2x2x+1（x0），由于，并且，当时，g'（x）0，则g（x）在上为增函数当时，g'（x）0，则g（x）在上为减函数；则g（x）在（0，+）上有最大值，即g（x）0，故原不等式成立【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用