1、2018-2019学年广东省东莞市三校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分）：1（5分）已知b+2i（a，bR），其中为虚数单位，则ab（）A3B2C1D12（5分）函数f（x）x3+ax2+3x9已知f（x）在x3时取得极值，则a（）A2B3C4D53（5分）已知f（x）exex，f'（x）是f（x）的导函数，则f'（2）（）A0Be2+e2Ce2e2D14（5分）若函数f（x）sincosx，为常数，则f'（）（）AsinBsinCsin+cosD2sin5（5分）我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C0的距离公式为d，通过类比的方
2、法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到平面x+2y+2z+30的距离为（）A3B5CD6（5分）已知函数f（x）exx，x0，下列结论中正确的是（）A函数f（x）有极小值B函数f（x）有极大值C函数f（x）有一个零点D函数f（x）没有零点7（5分）如图，下有七张卡片，现这样组成一个三位数：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后把卡片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回则这样组成的三位数的个数为（）A21B48C64D818（5分）改革开放以来，中国经济飞速发展，
3、科学技术突飞猛进高铁、核电、桥梁、激光、5G通信、人工智能、航空航天、移动支付、量子通讯、特高压输电等许多技术都领先于世界厉害了，我的国！把“厉害了我的国”这六个字随机地排成一排，其中“厉”、“害”这两个字必须相邻（可以交换顺序），“了”、“的”这两个助词不能相邻，则不同排法的种数为（）A72B108C144D2889（5分）现有命题“，nN+”，不知真假请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情况为（）A不能用数学归纳法去判断真假B一定为真命题C加上条件n9后才是真命题，否则为假D存在一个很大常数m，当nm时，命题为假10（5分）王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某
4、次运动会上，他们四人要组成一个4100米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（）A甲B乙C丙D丁11（5分）如图，yf（x）是可导函数，直线L：ykx+2是曲线yf（x）在x3处的切线，令g（x）xf（x），g（x）是g（x）的导函数，则g（3）（）A1B0C2D412（5分）过坐标原点O作曲线C：yex的切线l，则曲线
5、C、直线l与y轴所围成的封闭图形的面积为（）ABe1Ce2D二填空题：13（5分）定积分 14（5分）已知函数f（x）x25x+2ln2x，则f（x）的单调递增区间为 15（5分）已知cos，coscos，coscoscos，根据上述等式的规律，可猜想出一般性的结论是 16（5分）函数f（x）exax2在（0，+）上有两个极值点，则实数a的取值范围是 三解答题：17（10分）已知m为实数，设复数z（m2+5m+6）+（m22m15）i（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数z对应的点在直线xy+70的下方，求m的取值范围18（12
6、分）已知函数f（x）excosx（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的值域19（12分）设函数f（x）x36x2+9x+a（1）求f（x）在区间x2，2的最值； （2）若f（x）有且只有两个零点，求a的值20（12分）下面图形都是由小正三角形构成的，设第n个图形中的黑点总数为f（n）（nN+）（1）写出f（2），f（3），f（4），f（5）的值；（2）归纳出f（n+1）与f（n）的关系（不用证明），并求出f（n）的表达式21（12分）“既要金山银山，又要绿水青山”某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花圆中设计一条观光线路打算在半圆弧上任选一点C
7、（与A，B不重合），沿AC修一条直线段小路，在路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再沿弧修一条弧形小路，在小路的一侧（注意是一侧）种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计（1）设BAC（弧度），将绿化带的总长度表示为的函数f（）；（2）求绿化带的总长度f（）的最大值22（12分）已知函数f（x）x22mlnx2m（mR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有极小值，求该极小值的取值范围2018-2019学年广东省东莞市三校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）：1（5分）已知b+2i（a，bR），其中为虚数单位，则ab（）A3B2C1D1【分析】由
8、b+2i，得a+i2+bi，再由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求【解答】解：由b+2i，得a+i2+bi，a2，b1，则ab3故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题2（5分）函数f（x）x3+ax2+3x9已知f（x）在x3时取得极值，则a（）A2B3C4D5【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x3时取得极值，可以得到f（3）0，代入求a值【解答】解：对函数求导可得，f（x）3x2+2ax+3f（x）在x3时取得极值 f（3）0a5，验证知，符合题意故选：D【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的性质属基础题比较容易，要求考生只要熟练
9、掌握基本概念，即可解决问题3（5分）已知f（x）exex，f'（x）是f（x）的导函数，则f'（2）（）A0Be2+e2Ce2e2D1【分析】求函数的导数，结合函数的导数公式进行计算即可【解答】解：函数的导数为f（x）ex+ex，则f（2）e2+e2，故选：B【点评】本题主要考查函数的导数计算，结合函数的导数公式是解决本题的关键比较基础4（5分）若函数f（x）sincosx，为常数，则f'（）（）AsinBsinCsin+cosD2sin【分析】根据函数的导数公式进行计算即可【解答】解：函数的导数f（x）sinx，则f（）sin，故选：A【点评】本题主要考查函数的导数的
10、计算，结合函数的导数公式是解决本题的关键5（5分）我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C0的距离公式为d，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到平面x+2y+2z+30的距离为（）A3B5CD【分析】类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C0的距离d，可知在空间中，d5【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C0的距离d，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到直线Ax+By+Cz+D0的距离d点（2，4，1）到平面x+2y+2z+30的距离d5故选：B【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推
11、测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）6（5分）已知函数f（x）exx，x0，下列结论中正确的是（）A函数f（x）有极小值B函数f（x）有极大值C函数f（x）有一个零点D函数f（x）没有零点【分析】推导出f（x）ex10，从而f（x）在x0内是增函数，由f（0）1，得到函数f（x）exx，x0没有零点，没有极值【解答】解：函数f（x）exx，x0，f（x）ex10，f（x）在x0内是增函数，f（0）1010，函数f（x）exx，x0没有零点，没有极值，故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查导数性质、函数性质、最值等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题7（5分）
12、如图，下有七张卡片，现这样组成一个三位数：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后把卡片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回则这样组成的三位数的个数为（）A21B48C64D81【分析】百位、十位、个位每个位置有4种选择，根据分步乘法原理，共有44464种三位数【解答】解：依题意，百位、十位和个位每个位置有4种选择，根据分步乘法原理，这样的三位数共有44464个故选：C【点评】本题考查了计数原理，不同的三位数的个数由三个数位上的数字决定，不随着取数的人的变化而变化本
13、题属于中档题8（5分）改革开放以来，中国经济飞速发展，科学技术突飞猛进高铁、核电、桥梁、激光、5G通信、人工智能、航空航天、移动支付、量子通讯、特高压输电等许多技术都领先于世界厉害了，我的国！把“厉害了我的国”这六个字随机地排成一排，其中“厉”、“害”这两个字必须相邻（可以交换顺序），“了”、“的”这两个助词不能相邻，则不同排法的种数为（）A72B108C144D288【分析】根据相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法进行求解即可【解答】解：把厉”、“害”这两个字看出一个元素和“我“，“国”，全排列为A12种，中间有4个空，排“了”、“的”有12种，共有1212144种，故选：C【点评】本题主要考查
14、排列组合的计算，利用相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法是解决本题的关键9（5分）现有命题“，nN+”，不知真假请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情况为（）A不能用数学归纳法去判断真假B一定为真命题C加上条件n9后才是真命题，否则为假D存在一个很大常数m，当nm时，命题为假【分析】利用数学归纳法证明，基本步骤是验证n1时命题成立，假设nk时命题成立，证明nk+1时命题也成立【解答】解：n1时，左边（1）211，右边+（1）2（+）1，左边右边，命题成立；假设nk，k1，kZ时，命题成立，即12+34+56+（1）k+1k+（1）k+1（+），则nk+1时，左边12+34+56+（1）k+1k+（
15、1）k+2（k+1）+（1）k+1（+）+（1）k+2（k+1）+（1）k+2（+）+（k+1）+（1）k+2（+）右边，命题也成立；命题“，nN+”，是真命题故选：B【点评】本题考查了利用数学归纳法证明命题成立的应用问题，也考查了运算求解以及化归、转化思想是基础题10（5分）王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4100米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；王老师听了他们四人的对话，安排了一
16、种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（）A甲B乙C丙D丁【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意【解答】解：由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意故跑第三棒的是丙故选：C【点评】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能
17、力、分析判断能力，是基础题11（5分）如图，yf（x）是可导函数，直线L：ykx+2是曲线yf（x）在x3处的切线，令g（x）xf（x），g（x）是g（x）的导函数，则g（3）（）A1B0C2D4【分析】先从图中求出切线过的点，再求出直线L的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出g（3）的值【解答】解：直线L：ykx+2是曲线yf（x）在x3处的切线，f（3）1，又点（3，1）在直线L上，3k+21，从而k，f（3）k，g（x）xf（x），g（x）f（x）+xf（x）则g（3）f（3）+3f（3）1+3（）0，故选：B【点评】本题考查导数的几何意义，曲线在切点处的导
18、数值为曲线的切线的斜率12（5分）过坐标原点O作曲线C：yex的切线l，则曲线C、直线l与y轴所围成的封闭图形的面积为（）ABe1Ce2D【分析】根据题意，设直线l与曲线C的切点为（m，em），求出曲线C的导数，由导数的几何意义可得直线l的方程，进而由定积分的计算公式分析可得答案【解答】解：根据题意，过坐标原点O作曲线C：yex的切线l，设切点为（m，em），yex，其导数yex，则切线的斜率kem，则直线l的方程为：yemem（xm），又由直线l经过原点，则有emem（m），分析可得m1，则直线l的方程为yee（x1），即yex，切点为（1，e）；曲线C、直线l与y轴所围成的封闭图形的面积S
19、（exex）dx（ex）（e）（10）1；故选：A【点评】本题考查利用导数求曲线的切线方程以及定积分的计算，关键是求出直线l的方程，属于基础题二填空题：13（5分）定积分+e【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得（+ex），进而计算可得答案【解答】解：根据题意，（+ex）（+e）（0+1）+e，故答案为：+e【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式14（5分）已知函数f（x）x25x+2ln2x，则f（x）的单调递增区间为（0，），（2，+）【分析】利用导函数研究原函数的单调性即可【解答】解：函数f（x）x25x+2ln2x，其定义域x|x0则f（x）2x5+令f（x）0，可
20、得x1，x22当x时，f（x）0，函数f（x）在（0，）是单调递增当x（2，+）时，f（x）0，函数f（x）在（2，+）是单调递增函数f（x）的单调递增区间是（0，）和（2，+）故答案为：（0，），（2，+）【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查导数的应用，考查运算能力，属于中档题15（5分）已知cos，coscos，coscoscos，根据上述等式的规律，可猜想出一般性的结论是coscoscos【分析】根据题意，分析所给的等式可得：对于第n个等式，等式左边为n个余弦连乘的形式，且角部分为分式，分子从到n，分母为（2n+1），右式为；将规律表示出来可得答案【解答】解：根据题意，分析所给的等
21、式可得：cos，可化为coscoscos，可化为coscoscoscoscos，可化为coscoscos；则一般的结论为coscoscos；故答案为coscoscos【点评】本题考查归纳推理的运用，解题的关键在于发现3个等式的变化的规律16（5分）函数f（x）exax2在（0，+）上有两个极值点，则实数a的取值范围是（）【分析】求出函数的导数，问题转化为yex和y2ax在（0，+）上有2个交点，设直线y2ax和yex相切时切点是A（m，em），求出临界值，求出a的范围即可【解答】解：f（x）exax2，f（x）ex2ax，若f（x）在（0，+）上有两个极值点x1，x2（0x1x2），则yex和
22、y2ax在（0，+）上有2个交点，设直线y2ax和yex相切时切点是A（m，em），则yex，y|xmem，故yemem（xm），即yemx+（1m）em2ax，故（1m）em0，解得：m1，故A（1，e），故2ae，a，故直线y2ax和yex相交时，a故实数a的取值范围为（）故答案为：（）【点评】本题考查切线方程，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查导数性质、函数性质、最值等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题三解答题：17（10分）已知m为实数，设复数z（m2+5m+6）+（m22m15）i（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数z对应的
23、点在直线xy+70的下方，求m的取值范围【分析】（1）由实部为0且虚部不为0列式求解；（2）由复数z对应的点在直线xy+70的下方，得（m2+5m+6）（m22m15）+70，求解不等式得答案【解答】解：（1）由题意得：，解得m2（2）复数z对应的点的坐标为（m2+5m+6，m22m15），直线xy+70的下方的点的坐标（x，y）应满足xy+70，即：（m2+5m+6）（m22m15）+70，解得m4，m的取值范围为（4，+）【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题18（12分）已知函数f（x）excosx（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；
24、（2）求函数f（x）在区间上的值域【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程（2）判断函数的单调性然后求解函数的最值【解答】解：（1）因为f（0）e0cos01，所以切点为（0，1）；又因为f'（x）excosxexsinxex（cosxsinx），所以f'（0）1，即切线斜率k1所以切线方程为：yx+1即yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为xy+10（6分）（2）令f'（x）ex（cosxsinx）0，因为，所以当时，f'（x）0，f（x）单调递增；当时，f'（x）0，f（x）单调递减；所以；又因为f（0）1，所以f
25、（x）min0；所以f（x）在上的值域为（12分）【点评】本题考查函数的单调性以及切线方程的求法，考查最值思想以及计算能力19（12分）设函数f（x）x36x2+9x+a（1）求f（x）在区间x2，2的最值； （2）若f（x）有且只有两个零点，求a的值【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后转化求解最值即可（2）令f（x）x36x2+9x+a0，可得ax3+6x29x设g（x）x3+6x29x，则g'（x）3x2+12x9，判断函数的单调性以及函数的极值，结合数形结合转化求解即可【解答】解：（1）f'（x）3x212x+9，令f'（x）0可得：x1或x3（舍去）因
26、为f（1）4+a，f（2）50+a，f（2）2+a，所以f（x）min50+a，f（x）max4+a（6分）（2）令f（x）x36x2+9x+a0，可得ax3+6x29x设g（x）x3+6x29x，则g'（x）3x2+12x9，令g'（x）0，得x1或x3，列表如下：x（，1）1（1，3）3（3，+）f'（x）0+0f（x）递减有极小值4递增有极大值0递减所以g（x）的大致图象如下：要使ax3+6x29x有且只有两个零点，只需直线ya与g（x）的图象有两个不同交点，所以a4或a0（12分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的极值函数单调性的求法，数形结
27、合以及转化思想的应用20（12分）下面图形都是由小正三角形构成的，设第n个图形中的黑点总数为f（n）（nN+）（1）写出f（2），f（3），f（4），f（5）的值；（2）归纳出f（n+1）与f（n）的关系（不用证明），并求出f（n）的表达式【分析】（1）由题意有f（1）3，借助三角形能求出f（2），f（3），f（4），f（5）的值（2）f（n+1）f（n）+3+32nf（n）+6n+3，从而f（n+1）f（n）6n+3，由此利用累加法能求出f（n）的表达式【解答】解：（1）由题意有f（1）3，f（2）f（1）+3+3212，f（3）f（2）+3+3427，f（4）f（3）+3+3648，f（5
28、）f（4）+3+3875（6分）（2）由题意及（）知，f（n+1）f（n）+3+32nf（n）+6n+3，即f（n+1）f（n）6n+3，（8分）故f（2）f（1）61+3，f（3）f（2）62+3，f（4）f（3）63+3，f（n）f（n1）6（n1）+3，n2（10分）将上面（n1）个式子相加，得：，又f（1）3，所以f（n）3n2，n2，而当n1时，f（1）3也满足上式，故f（n）3n2，nN*（12分）【点评】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查累加法的求解思路与方法，是中档题21（12分）“既要金山银山，又要绿水青山”某风景区在一个直径AB为10
29、0米的半圆形花圆中设计一条观光线路打算在半圆弧上任选一点C（与A，B不重合），沿AC修一条直线段小路，在路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再沿弧修一条弧形小路，在小路的一侧（注意是一侧）种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计（1）设BAC（弧度），将绿化带的总长度表示为的函数f（）；（2）求绿化带的总长度f（）的最大值【分析】（1）设圆心为O，连结OC、BC，利用直角三角形的边角关系和弧长公式，求出绿化带的总长度f（）；（2）对f（）求导数，利用导数判断f（）的单调性，再求出它的最大值【解答】解：（1）设圆心为O，连结OC，BC在直角ABC中，ACABcos100cos，的弧长502100；所
30、以绿化带的总长度为f（）200cos+100，其中；（6分） （2）对f（）求导数，得f'（）200sin+100，令f'（）0，可得，所以；当时，f'（）0，f（）单调递增；当时，f'（）0，f（）单调递减；所以；所以绿化带的总长度f（）的最大值为（）米（12分）【点评】本题考查了三角函数模型的实际应用问题，也考查了利用导数求函数的单调性与最值问题，是中档题22（12分）已知函数f（x）x22mlnx2m（mR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有极小值，求该极小值的取值范围【分析】（1）函数f（x）x22mlnx2m（mR）的定义域为（0，
31、+），分当m0，当m0分别求单调性（2）由当m0时，没有极值；当m0时，函数f（x）有极小值为m（lnm+1）记h（m）m（lnm+1）（m0），利用导数求得函数f（x）有极小值的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）x22mlnx2m（mR）的定义域为（0，+）当m0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）单调递增当m0时，令f（x）0x，当x时，f（x）0，当x，+）时，f（x）0，函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+）单调递增（2）当m0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）单调递增，没有极值当m0时，令f（x）0x，当x时，f（x）0，当x，+）时，f（x）0，函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+）单调递增函数f（x）有极小值为m（lnm+1）记h（m）m（lnm+1）（m0），则h（m）2lnm，由h（m）0得me2，当0me2时，h（m）0，当me2时，h（m）0，h（m）h（e2）e2，函数f（x）有极小值的取值范围为（，e2）【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求单调性、极值，属于中档题