1、2018-2019学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知a、b、c都是实数，则“ac2bc2”是“ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2（5分）向量（1，2，x），（2，y，4），若，则xy（）A4B2C1D3（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若S318，a38，则a6（）A12B14C18D214（5分）在等比数列an中，a32，a58，则a9（）A64B64或64C128或128D1285（5分）在ABC中，若A
2、60，bcosBccosC，则ABC的形状为（）A等腰三角形或直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形6（5分）已知F1、F2是椭圆C：1（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1PF2；若|PF1|6，|PF2|8，则椭圆的离心率为（）ABCD7（5分）如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为yx，那么该双曲线的方程是（）Ax21B1C1D18（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z3xy的最大值为（）A6B4C4D69（5分）若直线axby+20（a0，b0）经过圆x2+y2+2x4y+10的圆心，则的最小值为（）A4BCD610（5分）在300米高的山顶上，测得山下
3、一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为（）A200米B米C200米D米11（5分）已知抛物线C1：x22py（p0）的焦点为F1，抛物线C2：y2（4p+2）x的焦点为F2，点在C1上，且|PF1|，则直线F1F2的斜率为（）ABCD12（5分）已知双曲线的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M（a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，PF1F2的面积分别为S1，S2，则（）A4B8CD二、填空題：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）命题“xR，x2+x+10”的否定是 14（5分）函数f（x）lg的定义域为 &nb
4、sp; 15（5分）已知数列an中，a11，an+1an+2n，nN*，若bn+1（n）（an+1），b1，且对于任意的nN*，都有bnbn+1，则实数的取值范围是 16（5分）在希腊数学家海伦的著作测地术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a，b，c，其面积S，这里p（a+b+c）已知在ABC中，AC2，BC2AB，当ABC的面积取最大值时，cosB 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且sin2A+sin2Bsin2Csi
5、nAsinB（1）求角C的大小；（2）若c7，a+b8，求ABC的面积18（12分）已知命题p：xR，x22xm6，命题q：表示焦点在x轴上的椭圆，当pq是真命题，pq是假命题时，求实数m的取值范围19（12分）等比数列an的各项均为正数，且a1+6a21，a329a2a6，数列bn的前n项和为Sn，且Snn2（nN*）（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列前n项和Tn20（12分）四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，且PAABADCD，ABCD，ADC90，点Q是侧棱PC的中点（1）求证：BQ平面PAD；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值21（12分）已知数列an满
6、足a12，an+1（nN*）（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列an的通项公式；（3）记bn，Tn为数列b2n1b2n+1的前n项和，若Tn对任意的正整数n都成立，求实数的最小值22（12分）已加F（2，0）为椭圆C：1（ab0）的右焦点，P（2，3）在C上（1）求C的方程；（2）过F的直线l交C于A，B两点，交直线x8于点M，判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由2018-2019学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知
7、a、b、c都是实数，则“ac2bc2”是“ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，结合c20，从而得到答案【解答】解：由“ac2bc2”能推出“ab”，是充分条件，由“ab”推不出“ac2bc2”不是必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题2（5分）向量（1，2，x），（2，y，4），若，则xy（）A4B2C1D【分析】根据空间向量共线的坐标表示列出方程组求得x和y的值，再计算xy【解答】解：向量（1，2，x），（2，y，4），若，则，解得，所以xy2（4）2故选：B【点评】本题考
8、查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题3（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若S318，a38，则a6（）A12B14C18D21【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组由通项公式可得【解答】解：设等差数列an的公差为d，则a3a1+2d8，S33a1+d18，联立解得a14，d2，a6a1+5d4+1014，故选：B【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题4（5分）在等比数列an中，a32，a58，则a9（）A64B64或64C128或128D128【分析】先通过a2和a4求得q2，再根据a10a4q6求得a10【解答】解：等比数列an中，a32，a58
9、，q24，a9a5q4816128，故选：D【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式属基础题5（5分）在ABC中，若A60，bcosBccosC，则ABC的形状为（）A等腰三角形或直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式变形，利用正弦函数的性质得到BC或B+C90，结合A的值即可确定出三角形ABC的形状【解答】解：利用正弦定理化简ccosCbcosB，得：sinCcosCsinBcosB，即 sin2Csin2B，sin2Csin2B，2C2B，或2C+2B180，即BC，或B+C90，A60，可得B+C120，ABC60则AB
10、C为等边三角形故选：D【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理，正弦函数的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题6（5分）已知F1、F2是椭圆C：1（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1PF2；若|PF1|6，|PF2|8，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】运用椭圆的定义可得a7，再由勾股定理可得c5，运用离心率公式即可得到所求值【解答】解：|PF1|6，|PF2|8，由椭圆的定义可得2a|PF1|+|PF2|14，即a7，由PF1PF2，可得4c2|F1F2|2|PF1|2+|PF2|236+64100，即c5，e，故选：C【
11、点评】本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查运算能力，属于基础题7（5分）如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为yx，那么该双曲线的方程是（）Ax21B1C1D1【分析】由双曲线的一条渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x2y2（0），代入点P（2，），解方程即可得到所求双曲线的方程【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x2y2（0），代入点P（2，），可得422，可得双曲线的方程为x2y22，即为1故选：B【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程和双曲线的方程的关系，考查运算能力，属于基础题8（5分）已知实数x，y满足，则目标函数
12、z3xy的最大值为（）A6B4C4D6【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论【解答】解：实数x，y满足对应的平面区域如图：由z3xy得y3xz，平移直线y3xz，由图象可知当直线y3xz经过点A时，直线y3xz的截距最小，此时z最大由，解得A（1，1），将A的坐标代入目标函数z3xy4即z3xy的最大值为4故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，注意使用数形结合9（5分）若直线axby+20（a0，b0）经过圆x2+y2+2x4y+10的圆心，则的最小值为（）A4BCD6【分析】根据已知条件得a+2b2（a0，b0），再根据基本
13、不等式可得最小值【解答】解：依题意圆心（1，2）在直线axby+20，得a+2b2（a0，b0）+（a+2b）（+）（1+4+）（5+2）（当且仅当ab时取等）故选：B【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题10（5分）在300米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为（）A200米B米C200米D米【分析】如图，设AB为山，CD为塔，RtABD中利用正弦的定义，算出BD200米在BCD中，得到C120、DBC30，利用正弦定理列式，解出CD200米，即塔高为为200米【解答】解：如图，设AB为山，CD为塔，则RtABD中，ADB60，AB300米sinADB，得
14、BD200米在BCD中，BDC906030，DBC603030，C1803030120由正弦定理，得，CD200米，即塔高为为200米故选：A【点评】本题给出实际问题，求距离山远处的一个塔的高，着重考查了直角三角形三角函数的定义和正弦定理解三角形等知识，属于基础题11（5分）已知抛物线C1：x22py（p0）的焦点为F1，抛物线C2：y2（4p+2）x的焦点为F2，点在C1上，且|PF1|，则直线F1F2的斜率为（）ABCD【分析】求得抛物线C1的焦点和准线方程，由抛物线的定义解方程可得p，进而得到抛物线C1，抛物线C2的焦点，由直线的斜率公式，计算可得所求值【解答】解：因为抛物线C1：x22
15、py（p0）的焦点为F1（0，），准线方程为y，由抛物线的定义可得，解得，可得，F2（1，0），所以直线F1F2的斜率为故选：B【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线的斜率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题12（5分）已知双曲线的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M（a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，PF1F2的面积分别为S1，S2，则（）A4B8CD【分析】根据双曲线的离心率求出a，b，c的关系，结合向量数量积的公式，结合一元二次函数的性质求出函数的最值即可【解答】解：由，得，故线段MN所在直线的方程为，又点P在线
16、段MN上，可设，其中ma，0，由于F1（c，0），F2（c，0），即F1（2a，0），F2（2a，0），得，所以由于ma，0，可知当时，取得最小值，此时，当m0时，取得最大值，此时，则，故选：A【点评】本题主要考查直线和双曲线的位置关系 的应用，根据向量数量积转化为一元二次函数是解决本题的关键二、填空題：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）命题“xR，x2+x+10”的否定是xR，x2+x+10【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：“”；：“”即可，据此分析选项可得答案【解答】解：命题“xR，x2+x+10“的否定是：xR，x2+x+10故答案为：xR，x2+x+10【点
17、评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定用“”了这里就有注意量词的否定形式如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”14（5分）函数f（x）lg的定义域为【分析】可看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足，解该分式不等式即可【解答】解：要使f（x）有意义，则；解得；f（x）的定义域为故答案为：【点评】考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，以及方式不等式的解法15（5分）已知数列an中，a11，an+1an+2n，nN*，若bn+1（n）（an+1），b1，且对于任意的nN*，都有bnbn+1，则实数的取值范
18、围是（，2）【分析】根据题意，将an+1an+2n变形可得anan12n1，进而可得an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a12n1+2n2+2+12n1，据此可得bn+1（n）（an+1）（n）2n，进而可得若对于任意的nN*，都有bnbn+1，则有，解可得，结合n的取值范围即可得答案【解答】解：根据题意，数列an中，an+1an+2n，则有anan12n1，又由a11，则an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a12n1+2n2+2+12n1；则bn+1（n）（an+1）（n）2n，又由b1，若对于任意的nN*，都有bnbn+1，则有，解可得：，又由nN*，则2，
19、即的取值范围为（，2）；故答案为：（，2）【点评】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及数列的递推公式，关键是求出数列an的通项16（5分）在希腊数学家海伦的著作测地术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a，b，c，其面积S，这里p（a+b+c）已知在ABC中，AC2，BC2AB，当ABC的面积取最大值时，cosB【分析】设cx，则a2x，根据海伦面积公式得SABC的解析式，由三角形三边关系求得x2，由二次函数的性质求得SABC取得最大值，利用余弦定理可求出cosA的值【解答】解：由题意可得：b2，设cx，则a2x，可得：p（a+b+c）+1，可得：S，由
20、三角形三边关系有：x+2x2且x+22x，解得：x2，故当 x时，SABC取得最大值1，此时，c，a，由余弦定理可得：cosB故答案为：【点评】本题主要考查了二次函数的性质和海伦面积公式在解三角形中的应用当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，考查了转化思想，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且sin2A+sin2Bsin2CsinAsinB（1）求角C的大小；（2）若c7，a+b8，求ABC的面积【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，a2+b2c2ab，然后结合余弦
21、定理可求，cosC，进而可求C（2）由c7，a+b8，结合（1）的条件，a2+b2c2ab可求ab，然后结合ABC的面积公式S可求【解答】解（1）siA+sin2Bsin2CsinAsinB，由正弦定理可得，a2+b2c2ab由余弦定理可得，cosC，0C，C；（2）c7，a+b8，由（1）可得，a2+b2c2ab即（a+b）2c2ab，ab15，ABC的面积S【点评】本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题18（12分）已知命题p：xR，x22xm6，命题q：表示焦点在x轴上的椭圆，当pq是真命题，pq是假命题时，求实数m的取值范围【分析】求出命题p，
22、q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可【解答】解：若：xR，x22xm6，则（x1）21m6，即（x1）2+5m，则m5，即p：m5，若表示焦点在x轴上的椭圆，则m24，得m2或m2，即q：m2或m2，若当pq是真命题，pq是假命题时，则p，q一个为真命题，一个为假命题，若p真q假，则，得2m2，若p假q真，则，得m5，综上m5或2m2，即实数m的取值范围是m5或2m2【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键19（12分）等比数列an的各项均为正数，且a1+6a21，a329a2a6，数列bn的前n项和为Sn，且Snn2（n
23、N*）（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列前n项和Tn【分析】（1）首先利用已知条件和递推关系式求出数列的通项公式，（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和【解答】解：（1）设公比为q的等比数列an的各项均为正数，且a1+6a21，a329a2a6，则：，解得：，当q时，解得：当q时，解得：a11（舍去），故：（2）由于数列bn的前n项和为Sn，且Snn2（nN*）当n1时，b1S11当n2时，2n1，由于首项符合通项，故：bn2n1，所以：（2n1）3n，所以，整理得：Tn（n1）3n+1+3，【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位
24、相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题20（12分）四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，且PAABADCD，ABCD，ADC90，点Q是侧棱PC的中点（1）求证：BQ平面PAD；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值【分析】（1）当Q为侧棱PC中点时，取PD的中点E，连结AE、EQ，推导出四边形ABQE为平行四边形，从而BQAE，由此能证明BQ平面PAD（2）设平面PAD平面PBCl，则BQl，推导出lPD，lPC，则DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，由此能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值【解答】解：（I） 当Q为
25、侧棱PC中点时，有BQ平面PAD证明如下：如图，取PD的中点E，连结AE、EQQ为PC中点，则EQ为OCD的中位线，EQCD，且EQCDABCD，且ABCD，EQAB，且EQAB，四边形ABQE为平行四边形，则BQAE（4分）BQ平面PAD，AE平面PAD，BQ平面PAD （6分）（）设平面PAD平面PBClBQ平面PAD，BQ平面PBC，BQlBQ平面PCD，l平面PCD，lPD，lPC故DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角（9分）CD平面PAD，CDPD设PAABAD，则PDa，PC，故cosDPC平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为（12分）【点评】本
26、题考查满足线面平行的点的位置的确定与证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题21（12分）已知数列an满足a12，an+1（nN*）（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列an的通项公式；（3）记bn，Tn为数列b2n1b2n+1的前n项和，若Tn对任意的正整数n都成立，求实数的最小值【分析】（1）根据a12，an+1（nN*），化简变形可得，从而证明数列是等差数列；（2）由（1）可得数列的通项公式，从而得到数列an的通项公式；（3）求出bn，然后利用错位相减法求出数列b2n1b2n+1的前n
27、项和Tn，再根据Tn对任意的正整数n都成立，可得对任意的正整数n都成立，最后利用基本不等式求出的最大值即可得到的最小值【解答】解：（1）证明：an+1（nN*），a12，an1，即，又a12，数列是以1为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）知，数列an的通项公式为；（3）bn，b2n1b2n+1，由Tn对任意的正整数n都成立，得对任意的正整数n都成立，当且仅当n2时取等号，的最小值为【点评】本题考查了等差数列的定义，数列通项公式的求法，利用错位相减法求数列的前n项和，基本不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想和运算能力，属难题22（12分）已加F（2，0）为椭圆C：1（ab0）的右焦点，
28、P（2，3）在C上（1）求C的方程；（2）过F的直线l交C于A，B两点，交直线x8于点M，判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由【分析】（1）由题意可得c2，由椭圆的定义可得2a，进而得到b，则椭圆的方程即可得到；（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k1+k3，并求得k2的值，由k1+k32k2说明直线PA，PM，PB的斜率成等差数列【解答】解：（1）由题意可得c2，2a+8，即a4，b2，可得椭圆方程为+1：（2）直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，证明如下：由（1）知椭圆C：3x2+4y248，直线l的方程为yk（x2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k2）x216k2x+16k2480设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，则有x1+x2x1x2，可知M的坐标为（8，6k）k1+k3+2k32k32k1，2k222k1k1+k32k2故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，该题是中档题