1、2018-2019学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）下列说法正确的是（）A“x，yR，若x+y0，则x1且y1”是真命题B在同一坐标系中，函数yf（1+x）与yf（1x）的图象关于y轴对称C命题“xR，使得x2+2x+30”的否定是“xR，都有x2+2x+30”DaR，“1”是“a1”的充分不必要条件2（5分）已知双曲线与双曲线，给出下列说法，其中错误的是（）A它们的焦距相等B它们的焦点在同一个圆上C它们的渐近线方程相同D它们的离心率相等3（5分）在等比数列an中
2、，“a4，a12是方程x2+3x+10的两根”是“a81”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）在ABC中，已知C，BCa，ACb，且a，b是方程x213x+400的两根，则AB的长度为（）A2B4C6D75（5分）在R上定义运算ab（a+1）b，若存在x1，2使不等式（mx）（m+x）4，成立，则实数m的取值范围为（）A（3，2）B（1，2）C（2，2）D（1，2）6（5分）已知直线ax+by+c10（bc0）经过圆x2+y22y50的圆心，则的最小值是（）A9B8C4D27（5分）A，B，C是ABC的内角，其中B，则sinA+sinC的取值范围（）
3、A（）B（C（，1）D（）8（5分）已知A（1，0，0），B（0，1，1），O是坐标原点，+与的夹角为120，则的值为（）ABCD9（5分）已知两圆C1：（x4）2+y2169，C2：（x+4）2+y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A1B+1C1D+110（5分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A1盏B3盏C5盏D9盏二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把
4、答案写在答题卡相应位置上，）11（5分）孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是 12（5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D现测得BCD75，BDC45，CD50米，并在点C测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB 米13（5分）已知数列an的通项公式为，则数列an前15项和为S15的值为 14（5分）过抛物线y24
5、x焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AB|10，则AB的中点P到y轴的距离等于 三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（12分）已知实数x，y满足，记点（x，y）所对应的平面区域为D（1）在平面直角坐标系xOy中画出区域D（用阴影部分标出），并求区域D的面积S；（2）试判断点是否在区域D内，并说明理由16（12分）已知函数f（x）x2+axb（a，bR）（1）若b1，且函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（2）当b1a时，解关于x的不等式f（x）0；（3）若正数a，b满足，且对于任意的x1，+），f（x）0恒成立，求实数a，b的值1
6、7（14分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长18（14分）已知各项都是正数的数列an的前n项和为Sn，Sna+，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足：b11，bnbn12an（n2），数列的前n项和Tn求证：Tn2（3）若Tn（n+4）对任意nN*恒成立，求的取值范围19（14分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PABC，E是棱PC的中点，DAB90，ABCD，ADCD2AB2（）求证：PA平面ABCD；（）若二面角EBDP大于60，求四棱锥PABC
7、D体积的取值范围20（14分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）（） 求椭圆C的方程；（） 若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由2018-2019学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）下列说法正确的是（）A“x，yR，若x+y0，则x1且y1”是真命题B在同一坐标系中，函数yf（1+x）与yf（1x）的图象关于y轴对称C命题“xR，使得x2+2x+30
8、”的否定是“xR，都有x2+2x+30”DaR，“1”是“a1”的充分不必要条件【分析】A，根据命题与它的逆否命题真假性相同，判断正误即可；B，根据点（x，y）在函数yf（1+x）的图象上，点（x，y）在yf（1x）的图象上，得出两函数的图象关于y轴对称；C，写出该命题的否定，即可判断正误；D，分别判断充分性和必要性是否成立即可【解答】解：对于A，“x，yR，若x+y0，则x1且y1”是假命题，它的逆否命题“x，yR，若x1或y1，则x+y0”是假命题，A错误；对于B，同一坐标系中，点（x，y）在函数yf（1+x）的图象上，则（x，y）在yf（1x）的图象上，函数yf（1+x）与yf（1x）的
9、图象关于y轴对称，B正确；对于C，命题“xR，使得x2+2x+30”的否定是“xR，都有x2+2x+30”，C错误；对于D，当1时，a0或a1，充分性不成立；a1时，1，必要性成立，是必要不充分条件；D错误故选：B【点评】本题考查了命题真假的判断问题，是中档题2（5分）已知双曲线与双曲线，给出下列说法，其中错误的是（）A它们的焦距相等B它们的焦点在同一个圆上C它们的渐近线方程相同D它们的离心率相等【分析】根据题意，由两个双曲线的方程计算出两个双曲线的焦点坐标、焦距、渐进性方程以及离心率，进而分析选项即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线，其中a，b1，则c，则其焦距2c2，焦点坐标为（，0），
10、渐进线为yx，离心率e；双曲线，其标准方程为y21，其中a1，b，则c，则其焦距2c2，焦点坐标为（0，），渐进线为yx，离心率e；据此依次分析选项：对于A、两个双曲线的焦距都为2，A正确；对于B、双曲线C1焦点坐标为（，0），双曲线C2焦点坐标为（0，），都在圆x2+y23上，B正确；对于C、两个双曲线的渐进线为yx，C正确；对于D、双曲线C1离心率为，双曲线C2的离心率为，不正确；故选：D【点评】本题考查双曲线的标准方程，注意将双曲线的方程变形为标准方程3（5分）在等比数列an中，“a4，a12是方程x2+3x+10的两根”是“a81”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不
11、充分也不必要条件【分析】由韦达定理可得a4a121，a4和a12均为负值，由等比数列的性质可得【解答】解：a4，a12是方程x2+3x+10的两根，a4+a123，a4a121，a4和a12均为负值，由等比数列的性质可知a8为负值，且a82a4a121，a81，故“a4，a12是方程x2+3x+10的两根”是“a81”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，本题易得错误答案1，属易错题4（5分）在ABC中，已知C，BCa，ACb，且a，b是方程x213x+400的两根，则AB的长度为（）A2B4C6D7【分析】求出方程的解，根据余弦定理即可求出
12、AB的长度【解答】解：a，b是方程x213x+400的两根，a5，b8，或a8，b5，由余弦定理AB2c2a2+b22abcosC25+6428549，则AB7，故选：D【点评】本题考查了方程的解和余弦定理，属于基础题5（5分）在R上定义运算ab（a+1）b，若存在x1，2使不等式（mx）（m+x）4，成立，则实数m的取值范围为（）A（3，2）B（1，2）C（2，2）D（1，2）【分析】由题意把不等式化为（mx+1）（m+x）4，分离出m和x，利用函数的最值求关于m的不等式的解集即可【解答】解：由题意知，不等式（mx）（m+x）4化为（mx+1）（m+x）4，即m2+m4x2x；设f（x）x2
13、x，x1，2，则f（x）的最大值是f（2）422；令m2+m42，即m2+m60，解得3m2，实数m的取值范围是（3，2）故选：A【点评】本题考查了新定义与不等式和函数的应用问题，是中档题6（5分）已知直线ax+by+c10（bc0）经过圆x2+y22y50的圆心，则的最小值是（）A9B8C4D2【分析】将圆化成标准方程可得圆心为C（0，1），代入题中的直线方程算出b+c1，从而化简得+5，再根据基本不等式加以计算，可得当b且c时，的最小值为9【解答】解：圆x2+y22y50化成标准方程，得x2+（y1）26，圆x2+y22y50的圆心为C（0，1），半径r直线ax+by+c10经过圆心C，a
14、0+b1+c10，即b+c1，因此，（b+c）（）+5，b、c0，24，当且仅当时等号成立由此可得当b2c，即b且c时，+5的最小值为9故选：A【点评】本题给出已知圆的圆心在直线ax+by+c10上，在b、c0的情况下求的最小值着重考查了直线与圆的位置关系、圆的标准方程和基本不等式等知识，属于中档题7（5分）A，B，C是ABC的内角，其中B，则sinA+sinC的取值范围（）A（）B（C（，1）D（）【分析】利用和差公式、三角形内角和定理及其三角函数的单调性即可得出【解答】解：sinA+sinCsinA+sin（A）sinA+cosAsinAsinA+cosAsin（A+）A（0，），A+（，
15、），sin（A+）（，1，故选：B【点评】本题考查了和差公式、三角形内角和定理及其三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）已知A（1，0，0），B（0，1，1），O是坐标原点，+与的夹角为120，则的值为（）ABCD【分析】首先求出空间向量的坐标，及向量的模，进一步利用向量的夹角求出结果【解答】解：因为+（1，0，0）+（0，1，1）（1，），所以，（+）2，所以cos 120，所以0，且4解得：故选：C【点评】本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算属于基础题型9（5分）已知两圆C1：（x4）2+y2169，C2：（x+4）2+y29，动圆在圆C
16、1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A1B+1C1D+1【分析】根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心M的轨迹，进而可求其方程【解答】解：设动圆圆心M（x，y），半径为r，圆M与圆C1：（x4）2+y2169内切，与圆C2：（x+4）2+y29外切，|MC1|13r，|MC2|r+3，|MC1|+|MC2|168，由椭圆的定义，M的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，可得a8，c4；则b2a2c248；动圆圆心M的轨迹方程：+1故选：D【点评】考查两圆的位置关系及判定方法和椭圆的定义和标准
17、方程，要注意椭圆方程中三个参数的关系：b2a2c2，属中档题10（5分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A1盏B3盏C5盏D9盏【分析】设塔的顶层共有a1盏灯，则数列an公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果【解答】解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列an公比为2的等比数列，S7381，解得a13故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4
18、小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应位置上，）11（5分）孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是6【分析】设第一个人分到的橘子个数为a1，由等差数列前n项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子个数【解答】解：设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意得：，解得a16得到橘子最少的人所得的橘子个数是6故答案为：6【点评】本题考查等差数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差
19、数列的性质的合理运用12（5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D现测得BCD75，BDC45，CD50米，并在点C测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB米【分析】BCD中利用正弦定理求得BC的值，在直角ABC中求出AB的值【解答】解：因为BCD75，BDC45，所以CBD60，在BCD中，根据正弦定理可知，即，解得BC，在直角ABC中，tan30，AB，所以塔高AB（米）故答案为：【点评】本题考查了利用正弦定理求三角形的边长，以及直角三角形的边角关系应用问题，是基础题13（5分）已知数列an的通项公式为，则数列an前15项和为S15的值为【分析】由（），运
20、用数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，结合等差数列的求和公式，化简可得所求和【解答】解：数列an的通项公式为，由（），可得S15（1+）+（2+4+6+14）77+71649故答案为：【点评】本题考查数列的求和方法：分组求和，考查等差数列的求和公式和裂项相消求和方法，考查运算能力，属于中档题14（5分）过抛物线y24x焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AB|10，则AB的中点P到y轴的距离等于4【分析】过 A、P、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F、D，如图所示：由PF为直角梯形的中位线及抛物线的定义求出PF，则PHPF1 为所求【解答】解：抛物线y24x焦点E（1，0），准线为l
21、：x1，由于AB的中点为P，过 A、P、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F、D，PF交纵轴于点H，如图所示：则由PF为直角梯形的中位线知，PF5，PHPFFH514，故答案为：4【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（12分）已知实数x，y满足，记点（x，y）所对应的平面区域为D（1）在平面直角坐标系xOy中画出区域D（用阴影部分标出），并求区域D的面积S；（2）试判断点是否在区域D内，并说明理由【分析】（1）区域D是直角三角形，面积为两直角边积的一半
22、；（2）用点的坐标代入不等式组，看是否满足【解答】解：（1）如图由，所以；（2）点在区域D内，因为，所以点在区域D内【点评】本题考查了二元一次不等式组与平面区域属中档题16（12分）已知函数f（x）x2+axb（a，bR）（1）若b1，且函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（2）当b1a时，解关于x的不等式f（x）0；（3）若正数a，b满足，且对于任意的x1，+），f（x）0恒成立，求实数a，b的值【分析】（1）b1时，f（x）x2+ax+1，利用判别式转化求解即可（2）b1a时，f（x）x2+ax+a1（x+1）（x+a1），通过a的范围，求解不等式的解集（3）二次函数f（x）开口向上，
23、对称轴，通过单调性列出不等式，转化求解a的范围即可【解答】解：（1）b1时，f（x）x2+ax+1，由函数f（x）有零点，可得a240，即a2或a2；（2）b1a时，f（x）x2+ax+a1（x+1）（x+a1），当11a即a2时，f（x）0的解集为1，1a，当11a即a2时，f（x）0的解集为1，当11a即a2时，f（x）0的解集为1a，1；（3）二次函数f（x）开口向上，对称轴，由a2可得f（x）在1，+）单调递增，x1，+）时f（x）0恒成立，当且仅当f（1）0，即1+ab0，即ab1，由，可得，则，由0可得b24b+40，即（b2）20，则b2，此时1a1，则a1【点评】本题考查函数恒
24、成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力17（14分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA，即可求出A，再根据正弦定理可得bc8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得SABCacsinB，3csinBsinA2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA2sinA，sinA0，sinBsinC；（2）6cosBcosC1，cosBcosC，cosBcosCsinB
25、sinC，cos（B+C），cosA，0A，A，2R2，sinBsinC，bc8，a2b2+c22bccosA，b2+c2bc9，（b+c）29+3cb9+2433，b+c周长a+b+c3+【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题18（14分）已知各项都是正数的数列an的前n项和为Sn，Sna+，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足：b11，bnbn12an（n2），数列的前n项和Tn求证：Tn2（3）若Tn（n+4）对任意nN*恒成立，求的取值范围【分析】（1）Sna+，nN*n2时，利用anSnSn
26、1，及其等差数列的通项公式即可得出（2）b11，bnbn12ann（n2），利用bn（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1，及其裂项求和方法即可得出Tn进而证明结论（3）Tn（n+4），即，nN*利用基本不等式的性质即可得出【解答】（1）解：Sna+，nN*n2时，anSnSn1a+，化为：（an+an1）（anan1）0，an+an10，anan1，n1时，a1+，解得a1数列an是等差数列，首项与公差为an（n1）n（2）证明：b11，bnbn12ann（n2），bn（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1n+（n1）+2+1，2，数列的前n项和Tn222Tn2（
27、3）解：Tn（n+4），即，nN*，nN*Tn（n+4）对任意nN*恒成立，的取值范围是【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、累加求和方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题19（14分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PABC，E是棱PC的中点，DAB90，ABCD，ADCD2AB2（）求证：PA平面ABCD；（）若二面角EBDP大于60，求四棱锥PABCD体积的取值范围【分析】（）推导出ABAD，从而AB平面PAD，再由PAAB，能证明PA平面ABCD（）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利
28、用向量法能求出四棱锥PABCD体积的取值范围【解答】证明：（）平面PAD平面ABCD，PABC，E是棱PC的中点，DAB90，ABCD，ADCD2AB2ABAD，AB平面PAD，PAAB，ABBCB，PA平面ABCD解：（）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设APt，则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，t），C（2，2，0），E（1，1，），（1，2，0），（1，0，t），（0，1，），设平面BDP的法向量（x，y，z），则，取y1，得（2，1，），设平面BDE的法向量（a，b，c），则，取b1，得（2，1，），二面角EBDP大于60，|cos|
29、cos60，解得，S四边形ABCD5，四棱锥PABCD体积V（，）四棱锥PABCD体积的取值范围是（，）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的取值范围的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题20（14分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）（） 求椭圆C的方程；（） 若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由【分析】（）由椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（）法一：由PAQ的角平分线总垂直于x轴，知PA与AQ所在直线关于直线x2对称设直线
30、PA的方程为y1k（x2），直线AQ的方程为y1k（x2）由，得（1+4k2）x2（16k28k）x+16k216k40由点A（2，1）在椭圆C上，求出同理，由此能求出直线PQ的斜率为定值法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率由PAQ的角平分线总垂直于x轴，知，再由点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，能求出直线PQ的斜率为定值法三：设直线PQ的方程为ykx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1kx1+b，y2kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率由PAQ的角平分线总垂直于x轴，知，由，得（4k2+1）x2+8kbx+4b280
31、，由此利用韦达定理能求出直线PQ的斜率为定值【解答】解：（） 因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，（2分）因为a2b2+c2，解得a28，b22，（3分）所以椭圆C的方程为（4分）（）解法一：因为PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x2对称设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为k（5分）所以直线PA的方程为y1k（x2），直线AQ的方程为y1k（x2）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），由，消去y，得（1+4k2）x2（16k28k）x+16k216k40因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x2是方程的一个根，则，（6分）所以（7分）同理（8分）所以（9
32、分）又（10分）所以直线PQ的斜率为（11分）所以直线PQ的斜率为定值，该值为（12分）解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率因为PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x2对称所以kPAkQA，即，（5分）因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，由得，得，（6分）同理由得，（7分）由得，化简得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+40，（8分）由得x1y2+x2y1（x1+x2）2（y1+y2）+40，（9分）得x1+x22（y1+y2）（10分）得，得（11分）所以直线PQ的斜率为为定值（12分
33、）解法三：设直线PQ的方程为ykx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1kx1+b，y2kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率（5分）因为PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x2对称所以kPAkQA，即，（6分）化简得x1y2+x2y1（x1+x2）2（y1+y2）+40把y1kx1+b，y2kx2+b代入上式，并化简得2kx1x2+（b12k）（x1+x2）4b+40（*） （7分）由，消去y得（4k2+1）x2+8kbx+4b280，（*）则，（8分）代入（*）得，（9分）整理得（2k1）（b+2k1）0，所以或b12k（10分）若b12k，可得方程（*）的一个根为2，不合题意（11分）若时，合题意所以直线PQ的斜率为定值，该值为（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线与椭圆位置关系的合理运用