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2020中考数学备考训练:二次函数解析版

1、2020中考数学备考训练:二次函数一选择题(共14小题)1抛物线y(x+2)21的对称轴是()Ax1Bx1Cx2Dx22已知一次函数y1kx+m(k0)和二次函数y2ax2+bx+c(a0)部分自变量与对应的函数值如下表x10245y101356y201059当y2y1时,自变量x的取值范围是()A1x2B4x5Cx1或x5Dx1或x43如图,一条抛物线与x轴相交于M、N两点(点M在点N的左侧),其顶点P在线段AB上移动若点A、B的坐标分别为(2,3)、(1,3),点N的横坐标的最大值为4,则点M的横坐标的最小值为()A1B3C5D74二次函数y(x1)23的最小值是()A2B1C2D35已知

2、二次函数y1ax2+bx+c(a0)和一次函数y2kx+n(k0)的图象如图所示,下面有四个推断:二次函数y1有最大值二次函数y1的图象关于直线x1对称当x2时,二次函数y1的值大于0过动点P(m,0)且垂直于x轴的直线与y1,y2的图象的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时,m的取值范围是m3或m1其中正确的是()ABCD6抛物线y(x1)2+2的顶点坐标是()A(1,2)B(1,2)C(1,2)D(1,2)7将抛物线y4x2向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线是()Ay4(x+1)2+3By4(x1)2+3Cy4(x+1)23Dy4(x1)238在同一平面直角坐标系中,一次

3、函数yax+b和二次函数yax2+bx的图象可能为()ABCD9若将函数y2x2的图象向左平移1个单位,再向上平移3个单位,可得到的抛物线是()Ay2(x1)23By2(x1)2+3Cy2(x+1)23Dy2(x+1)2+310抛物线y(x+2)21可以由抛物线yx2平移得到,下列平移方法中正确的是()A先向左平移2个单位,再向上平移1个单位B先向左平移2个单位,再向下平移1个单位C先向右平移2个单位,再向上平移1个单位D先向右平移2个单位,再向下平移1个单位11把抛物线y3x2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得的抛物线是()Ay3(x+3)22By3(x+3)2+2Cy3(x3)2

4、2Dy3(x3)2+212下列所给二次函数的解析式中,其图象不与x轴相交的是()Ay4x2+5Byx2Cyx25xDy2(x+1)2313已知二次函数ymx2+(2m+1)x+m1的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是()AmBCm且m0Dm且m014函数yax22x+1和yax+a(a是常数,且a0)在同一直角坐标系中的图象可能是()ABCD二填空题(共7小题)15如图,双曲线y与抛物线yax2+bx+c交于点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由图象可得不等式组0+bx+c的解集为 16将二次函数yx22x5化为ya(xh)2+k的形式为y 17抛物线yx22x+m与x

5、轴有两个公共点,请写出一个符合条件的表达式为 18请写出一个开口向下,并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式,y 19如图,二次函数yax2+bx+c(a0)的图象经过点(,0),对称轴为直x1,下列5个结论:abc0;a+2b+4c0;2ab0;3b+2c0;abm(amb),其中正确的结论为 (注:只填写正确结论的序号)20已知二次函数yax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:x21012y34305则此二次函数的对称轴为 21如图,抛物线yx2通过平移得到抛物线m,抛物线m经过点B(6,0)和O(0,0),它的顶点为A,以O为圆心,OA为半径作圆,在第四象限内与抛物线y

6、x2交于点C,连接AC,则图中阴影部分的面积为 三解答题(共29小题)22在平面直角坐标系xOy中,抛物线yax2+(12a)x2(a0)与y轴交于点C,当a1时,该抛物线与x轴的两个交点为A,B(点A在点B左侧)(1)求点A,B,C的坐标;(2)若该抛物线与线段AB总有两个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围23图中所示的抛物线形拱桥,当拱顶离水面4m时,水面宽8m水面上升3米,水面宽度减少多少?下面给出了解决这个问题的两种方法方法一 如图1,以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点,以上升前的水面所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy,这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为 ;当

7、y3时,求出此时自变量x的取值,即可解决这个问题方法二 如图2,以抛物线顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系xOy,这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为 ;当y 时,求出此时自变量x的取值,即可解决这个问题24已知抛物线l1与l2形状相同,开口方向不同,其中抛物线l1:yax28ax交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),且AB6;抛物线l2与l1交于点A和点C(5,n)(1)求抛物线l1,l2的表达式;(2)当x的取值范围是 时,抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大;(3)直线MNy轴,交x轴,l1,l2分别相交于点P(m,0),M,N,当1m7时,求

8、线段MN的最大值25已知二次函数yax2+bx+c(a0)中,函数y与自变量x的部分对应值如表:x2102y3435(1)求二次函数的表达式,并写出这个二次函数图象的顶点坐标;(2)求出该函数图象与x轴的交点坐标26已知一次函数y2x+1的图象与y轴交于点A,点B(1,n)是该函数图象与反比例函数y(k0)图象在第二象限内的交点(1)求点B的坐标及k的值;(2)试在x轴上确定点C,使ACAB,直接写出点C的坐标27如图,用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD,墙长28m设AB长为x m,矩形的面积为y m2(1)写出y与x的函数关系式;(2)当AB长为多少米时,所围成的花圃面

9、积最大?最大值是多少?(3)当花圃的面积为150m2时,AB长为多少米?28在平面直角坐标系xOy中,直线yx+n经过点A(4,2),分别与x,y轴交于点B,C,抛物线yx22mx+m2n的顶点为D(1)求点B,C的坐标;(2)直接写出抛物线顶点D的坐标(用含m的式子表示);若抛物线yx22mx+m2n与线段BC有公共点,求m的取值范围29随着“节能减排、绿色出行”的健康生活意识的普及,新能源汽车越来越多地走进百姓的生活某汽车租赁公司拥有40辆电动汽车,据统计,当每辆车的日租金为120元时,可全部租出;当每辆车的日租金每增加5元时,未租出的车将增加1辆;该公司平均每日的各项支出共2100元(1

10、)若某日共有x辆车未租出,则当日每辆车的日租金为 元;(2)当每辆车的日租金为多少时,该汽车租赁公司日收益最大?最大日收益是多少?30已知二次函数ykx2(k+3)x+3在x0和x4时的函数值相等(1)求该二次函数的表达式;(2)画出该函数的图象,并结合图象直接写出当y0时,自变量x的取值范围;(3)已知关于x的一元二次方程k2x2mx+m2m0,当1m3时,判断此方程根的情况31在平面直角坐标系xOy中,直线y2x+2与x轴,y轴分别交于点A,B,抛物线yax2+bx经过点A和点C(4,0)(1)求该抛物线的表达式(2)连接CB,并延长CB至点D,使DBCB,请判断点D是否在该抛物线上,并说

11、明理由(3)在(2)的条件下,过点C作x轴的垂线EC与直线y2x+2交于点E,以DE为直径画M,求圆心M的坐标;若直线AP与M相切,P为切点,直接写出点P的坐标32在二次函数yax2+bx+c(a0)中,函数y与自变量x的部分对应值如表:x10123y83010(1)求这个二次函数的表达式;(2)当x的取值范围满足什么条件时,y0?33图中是抛物线形拱桥,当水面宽AB8米时,拱顶到水面的距离CD4米如果水面上升1米,那么水面宽度为多少米?34在平面直角坐标系xOy中,抛物线ymx2+(m+2)x+2过点(2,4),且与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C点D的坐标为(2,0),

12、连接CA,CB,CD(1)求证:ACOBCD;(2)P是第一象限内抛物线上的一个动点,连接DP交BC于点E当BDE是等腰三角形时,直接写出点E的坐标;连接CP,当CDP的面积最大时,求点E的坐标35已知二次函数yx26x+5(1)解析式化为ya(xh)2+k的形式;(2)求出该函数图象与x轴、y轴的交点坐标36已知抛物线y(k1)x2+2kx+k2与x轴有两个不同的交点(1)若点(1,5)在此抛物线上,求此抛物线的解析式;(2)在(1)的条件下,直接写出当y0时,x的取值范围;(3)若此抛物线与x轴有两个不同的交点,求k的取值范围37如图,抛物线yax2+bx+c经过A(4,0)、B(1,0)

13、、C(0,3)三点,直线ymx+n经过A(4,0)、C(0,3)两点(1)写出方程ax2+bx+c0的解;(2)若ax2+bx+cmx+n,写出x的取值范围38如图,矩形ABCD中,AB16cm,AD4cm,点P、Q分别从A、B同时出发,点P在边AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动,点Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动设运动时间为x秒,PBQ的面积为y(cm2)(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)求PBQ的面积的最大值39如图所示,在平面直角坐标系中,RtOBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上,且OB1,OC3

14、,将OBC绕原点O顺时针旋转90得到OAE,将OBC沿y轴翻折得到ODC,AE与CD交于点F(1)若抛物线过点A、B、C,求此抛物线的解析式;(2)求OAE与ODC重叠的部分四边形ODFE的面积;(3)点M是第三象限内抛物线上的一动点,点M在何处时AMC的面积最大?最大面积是多少?求出此时点M的坐标40二次函数yax2+bx+c的部分图象如图所示,其中图象与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点C(0,5),且经过点D(3,8)(1)求此二次函数的解析式;(2)将此二次函数的解析式写成ya(xh)2+k的形式,并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标41已知抛物线y1x

15、2+(m+1)x+m4与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),且对称轴为x1(1)求m的值;(2)画出这条抛物线;(2)若直线y2kx+b过点B且与抛物线交于点P(2m,3m),根据图象回答:当x取什么值时,y1y242某超市销售一款进价为50元/个的书包,物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个,市场调查发现:以60元/个的价格销售,平均每周销售书包100个;若每个书包的销售价格每提高1元,则平均每周少销售书包2个(1)求该超市这款书包平均每周的销售量y(个)与销售价x(元/个)之间的函数关系式;(2)求该超市这款书包平均每周的销售利润w(元)与销售价x(元/个)之间的函数关系式;(3)

16、当每个书包的销售价为多少元时,该超市这款书包平均每周的销售利润最大?最大利润是多少元?43已知抛物线yax2+bx+6与x轴交于A、B两点(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,且OBOC,tanACO,顶点为D(1)求点A的坐标(2)求直线CD与x轴的交点E的坐标(3)在此抛物线上是否存在一点F,使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由(4)若点M(2,y)是此抛物线上一点,点N是直线AM上方的抛物线上一动点,当点N运动到什么位置时,四边形ABMN的面积S最大?请求出此时S的最大值和点N的坐标(5)点P为此抛物线对称轴上

17、一动点,若以点P为圆心的圆与(4)中的直线AM及x轴同时相切,则此时点P的坐标为 44已知二次函数yax2+bx+c,其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示:(1)求这个二次函数的解析式;(2)写出这个二次函数图象的顶点坐标x202y111145已知二次函数yx24x+3(1)用配方法将yx24x+3化成ya(xh)2+k的形式;(2)在所给的平面直角坐标系中,画出这个二次函数的图象;(3)根据图象回答:当自变量x的取值范围满足什么条件时,y0?46某网站出售一种毛绒兔玩具,试销中发现这种玩具每个获利x元时,一天需销售(60x)个,若要使一天出售该种玩具获利最大利润,那么第个玩具应获利

18、多少元?47如图,在平面直角坐标系中,A(3,0),点C在y轴的正半轴上,BCx轴,且BC5,AB交y轴于点D,(1)求出C的坐标(2)过A,C,B三点的抛物线与x轴交于点E,连接BE,若动点M从点A出发沿x轴正方向运动,同时动点N从点E出发,在直线EB上作匀速运动,运动速度为每秒1个单位长度,当运动时间t为多少时,MON为直角三角形48用配方法将二次函数y2x24x6化为ya(xh)2+k的形式(其中h,k为常数),并写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴49已知:如图,抛物线是由抛物线平移后得到的,分别求出抛物线和抛物线的解析式50二次函数yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,根据图象

19、解答下列问题:(1)写出方程ax2+bx+c0的两个根;(2)写出不等式ax2+bx+c0的解集;(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;(4)若方程ax2+bx+ck有两个不相等的实数根,求k的取值范围2020中考数学备考训练:二次函数参考答案与试题解析一选择题(共14小题)1抛物线y(x+2)21的对称轴是()Ax1Bx1Cx2Dx2【分析】根据题目中抛物线的顶点式,可以直接写出它的对称轴,本题得以解决【解答】解:抛物线y(x+2)21的对称轴是直线x2,故选:C【点评】本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答2已知一次函数y1kx+m(k0)和二

20、次函数y2ax2+bx+c(a0)部分自变量与对应的函数值如下表x10245y101356y201059当y2y1时,自变量x的取值范围是()A1x2B4x5Cx1或x5Dx1或x4【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(1,0)和(4,5),1x4时,y1y2,从而得到当y2y1时,自变量x的取值范围【解答】解:当x0时,y1y20;当x4时,y1y25;直线与抛物线的交点为(1,0)和(4,5),而1x4时,y1y2,当y2y1时,自变量x的取值范围是x1或x4故选:D【点评】本题考查了二次函数与不等式:对于二次函数yax2+bx+c(a、b、c是常数,a0)与不等式的关系,利用两个

21、函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围,可作图利用交点直观求解,也可把两个函数解析式列成不等式求解3如图,一条抛物线与x轴相交于M、N两点(点M在点N的左侧),其顶点P在线段AB上移动若点A、B的坐标分别为(2,3)、(1,3),点N的横坐标的最大值为4,则点M的横坐标的最小值为()A1B3C5D7【分析】根据顶点P在线段AB上移动,又知点A、B的坐标分别为(2,3)、(1,3),分别求出对称轴过点A和B时的情况,即可判断出M点横坐标的最小值【解答】解:根据题意知,点N的横坐标的最大值为4,此时对称轴过B点,点N的横坐标最大,此时的M点坐标为(2,0),当对称轴过A点时,点M的

22、横坐标最小,此时的N点坐标为(1,0),M点的坐标为(5,0),故点M的横坐标的最小值为5,故选:C【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数的图象与性质,解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时,两交点之间的距离不变4二次函数y(x1)23的最小值是()A2B1C2D3【分析】由顶点式可知当x1时,y取得最小值3【解答】解:y(x1)23,当x1时,y取得最小值3,故选:D【点评】本题主要考查二次函数的最值,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键5已知二次函数y1ax2+bx+c(a0)和一次函数y2kx+n(k0)的图象如图所示,下面有四个推断:二次函数y1有最大值二次函数y

23、1的图象关于直线x1对称当x2时,二次函数y1的值大于0过动点P(m,0)且垂直于x轴的直线与y1,y2的图象的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时,m的取值范围是m3或m1其中正确的是()ABCD【分析】根据函数的图象即可得到结论【解答】解:二次函数y1ax2+bx+c(a0)的图象的开口向上,二次函数y1有最小值,故错误;观察函数图象可知二次函数y1的图象关于直线x1对称,故正确;当x2时,二次函数y1的值小于0,故错误;当x3或x1时,抛物线在直线的上方,m的取值范围为:m3或m1,故正确故选:D【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数图象,熟练运用二次函数图象上点的坐标特

24、征求出二次函数解析式是解题的关键6抛物线y(x1)2+2的顶点坐标是()A(1,2)B(1,2)C(1,2)D(1,2)【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可【解答】解:y(x1)2+2的顶点坐标为(1,2)故选:A【点评】本题考查了二次函数的性质,熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键7将抛物线y4x2向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线是()Ay4(x+1)2+3By4(x1)2+3Cy4(x+1)23Dy4(x1)23【分析】根据向右平移横坐标加,向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式解析式写出即可【解答】解:抛物线y4x2向

25、右平移1个单位,再向上平移3个单位的顶点坐标为(1,3),得到的抛物线的解析式为y4(x1)2+3故选:B【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,此类题目利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键,平移的规律:左加右减,上加下减8在同一平面直角坐标系中,一次函数yax+b和二次函数yax2+bx的图象可能为()ABCD【分析】根据二次函数的性质首先排除B选项,再根据a、b的值的正负,结合二次函数和一次函数的性质逐个检验即可得出答案【解答】解:根据题意可知二次函数yax2+bx的图象经过原点O(0,0),故B选项错误;当a0时,二次函数yax2+bx的图象开口向下,一次函数yax+b的斜率

26、a为负值,故D选项错误;当a0、b0时,二次函数yax2+bx的对称轴x0,一次函数yax+b与y轴的交点(0,b)应该在y轴正半轴,故C选项错误;当a0、b0时,二次函数yax2+bx的对称轴x0,一次函数yax+b与y轴的交点(0,b)应该在y轴负半轴,故A选项正确故选:A【点评】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质,做题时要注意数形结合思想的运用,同学们加强训练即可掌握,属于基础题9若将函数y2x2的图象向左平移1个单位,再向上平移3个单位,可得到的抛物线是()Ay2(x1)23By2(x1)2+3Cy2(x+1)23Dy2(x+1)2+3【分析】易得新抛物线的顶点,根据顶点式及

27、平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式【解答】解:原抛物线的顶点为(0,0),向左平移1个单位,再向上平移3个单位,那么新抛物线的顶点为(1,3);可设新抛物线的解析式为y(xh)2+k,代入得:y2(x+1)2+3,故选:D【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换,抛物线平移不改变二次项的系数的值,解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标10抛物线y(x+2)21可以由抛物线yx2平移得到,下列平移方法中正确的是()A先向左平移2个单位,再向上平移1个单位B先向左平移2个单位,再向下平移1个单位C先向右平移2个单位,再向上平移1个单位D先向右平移2个单位,再向下平移1个单位【分析】因为函

28、数yx2的图象沿y轴向下平移1个单位长度,所以根据左加右减,上加下减的规律,直接在函数上加1可得新函数yx21;然后再沿x轴向左平移2个单位长度,可得新函数y(x+2)21【解答】解:函数yx2的图象沿沿x轴向左平移2个单位长度,得,y(x+2)2;然后y轴向下平移1个单位长度,得,y(x+2)21;故可以得到函数y(x+2)21的图象故选:B【点评】主要考查的是函数图象的平移,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式11把抛物线y3x2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得的抛物线是()Ay3(x+3)22By3(x+3)2+2Cy3(x3)22Dy3(

29、x3)2+2【分析】根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行求解【解答】解:抛物线y3x2先向上平移2个单位,得:y3x2+2;再向右平移3个单位,得:y3(x3)2+2;故选:D【点评】主要考查了函数图象的平移,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减并用规律求函数解析式12下列所给二次函数的解析式中,其图象不与x轴相交的是()Ay4x2+5Byx2Cyx25xDy2(x+1)23【分析】根据一元二次方程与二次函数的图象关系,当判别式小于0时,图象与x无交点进行选择即可【解答】解:A、y4x2+5与x轴无交点,故本选项正确;B、yx2与x轴有一个交点,故本选项错误;C、yx25x与

30、x轴有两个交点,故本选项错误;D、y2(x+1)23与x轴有两个交点,故本选项错误;故选:A【点评】本题考查了抛物线和x轴的交点,解题的关键是掌握一元二次方程与二次函数的图象关系13已知二次函数ymx2+(2m+1)x+m1的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是()AmBCm且m0Dm且m0【分析】根据二次函数ymx2+(2m+1)x+m1的图象与x轴有两个交点,可得(2m+1)24m(m1)0且m0【解答】解:原函数是二次函数,m0二次函数ymx2+(2m+1)x+m1的图象与x轴有两个交点,则b24ac0,即(2m+1)24m(m1)0,4m2+4m+14m2+4m0,8m+10m故选:

31、C【点评】考查二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断14函数yax22x+1和yax+a(a是常数,且a0)在同一直角坐标系中的图象可能是()ABCD【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误【解答】解:A、由一次函数yax+a的图象可得:a0,此时二次函数yax2+bx+c的图象应该开口向下,故选项错误;B、由一次函数yax+a的图象可得:a0,此时二次函数yax2+bx+c的图象应该开口向下,故选项错误;C、由一次函数yax+a的图象可得:a0,此时二次函数yax2+bx+c的图象应该开口向上,对称轴x0,故选项正确;D、由一次函

32、数yax+a的图象可得:a0,此时二次函数yax2+bx+c的对称轴x0,故选项错误故选:C【点评】应该熟记一次函数yax+a在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等二填空题(共7小题)15如图,双曲线y与抛物线yax2+bx+c交于点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由图象可得不等式组0+bx+c的解集为x2xx3【分析】根据函数图象写出x轴上方且抛物线在双曲线上方部分的x的取值范围即可【解答】解:由图可知,x2xx3时,0ax2+bx+c,所以,不等式组0ax2+bx+c的解集是x2xx3故答案为:x2xx3【点评】本题考查了

33、二次函数与不等式组,此类题目,准确识图,利用数形结合的思想求解更简便16将二次函数yx22x5化为ya(xh)2+k的形式为y(x1)26【分析】利用配方法整理即可得解;【解答】解:(1)yx22x5x22x+16(x1)26,故答案为:(x1)26【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化,二次函数的性质,熟练掌握配方法是解题的关键17抛物线yx22x+m与x轴有两个公共点,请写出一个符合条件的表达式为yx22x【分析】根据判别式的意义得到(2)24m0,然后解不等式组求出m的范围,再在此范围内写出一个m的值即可【解答】解:根据题意得到(2)24m0,解得m1,若m取0,抛物线解析式为yx2

34、2x故答案为yx22x【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:对于二次函数yax2+bx+c(a,b,c是常数,a0),b24ac决定抛物线与x轴的交点个数:b24ac0时,抛物线与x轴有2个交点;b24ac0时,抛物线与x轴有1个交点;b24ac0时,抛物线与x轴没有交点18请写出一个开口向下,并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式,yx2(答案不唯一)【分析】要根据开口向下且与x轴有惟一的公共点,写出一个抛物线解析式即可【解答】解:与x轴只有一个公共点,并且开口方向向下,a0,0,即b24ac0,满足这些特点即可如yx2故答案为:x2(答案不唯一)【点评】此题主要考查了二次函数的性质,要了

35、解性质与函数中a,b,c的关系19如图,二次函数yax2+bx+c(a0)的图象经过点(,0),对称轴为直x1,下列5个结论:abc0;a+2b+4c0;2ab0;3b+2c0;abm(amb),其中正确的结论为(注:只填写正确结论的序号)【分析】根据抛物线开口方向得到a0,根据抛物线对称轴为直线x1得到b2a,则b0,根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c0,所以abc0;由x,y0,得到a+b+c0,即a+2b+4c0;由ab,a+b+c0,得到b+2b+c0,即3b+2c0;由x1时,函数值最小,则ab+cm2amb+c(m1),即abm(amb)【解答】解:抛物线开口向上,a0,抛物线

36、对称轴为直线x1,b2a,则2ab0,所以错误;b0,抛物线与y轴的交点在x轴下方,c0,abc0,所以错误;x时,y0,a+b+c0,即a+2b+4c0,所以正确;ab,a+b+c0,b+2b+c0,即3b+2c0,所以正确;x1时,函数值最小,ab+cam2mb+c(m1),abm(amb),所以错误故答案为【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数yax2+bx+c(a0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口;IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即a

37、b0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右(简称:左同右异)抛物线与y轴交于(0,c)抛物线与x轴交点个数:b24ac0时,抛物线与x轴有2个交点;b24ac0时,抛物线与x轴有1个交点;b24ac0时,抛物线与x轴没有交点20已知二次函数yax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:x21012y34305则此二次函数的对称轴为x1【分析】观察表格发现函数的图象经过点(2,3)和(0,3),根据两点的纵坐标相同,说明两点关于对称轴对称,从而求解【解答】解:观察表格发现函数的图象经过点(2,3)和(0,3),两点的纵坐标相同,两点关于对称轴对称,对称轴为:

38、x1,故答案为:x1【点评】本题考查了二次函数的性质,了解(2,3)和(0,3)两点关于对称轴对称是解决本题的关键21如图,抛物线yx2通过平移得到抛物线m,抛物线m经过点B(6,0)和O(0,0),它的顶点为A,以O为圆心,OA为半径作圆,在第四象限内与抛物线yx2交于点C,连接AC,则图中阴影部分的面积为12【分析】先求出抛物线m的解析式,得到顶点A的坐标,求出OA的长度,根据抛物线的对称性,可知阴影部分的面积半圆的面积AOC的面积【解答】解:抛物线m经过点B(6,0)和O(0,0),抛物线m的对称轴为直线x3,抛物线yx2通过平移得到抛物线m,设抛物线m的解析式为y(x3)2+k,将O(

39、0,0)代入,得(03)2+k0,解得k4,抛物线m的解析式为y(x3)2+4,顶点A的坐标为(3,4),由勾股定理,得OA5连接OA、OC,由圆的对称性或垂径定理,可知C的坐标为(3,4),阴影部分的面积半圆的面积AOC的面积528312故答案为:12【点评】本题考查了二次函数的问题,根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式,并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键三解答题(共29小题)22在平面直角坐标系xOy中,抛物线yax2+(12a)x2(a0)与y轴交于点C,当a1时,该抛物线与x轴的两个交点为A,B(点A在点B左侧)(1)求点A,B,C的坐标;(2)若该抛物线与线段AB

40、总有两个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围【分析】(1)先由a1得到抛物线解析式;解方程x2x20得A(1,0),B(2,0),然后计算自变量为0时对应的函数值得到C点坐标;(2)先判断抛物线yax2+(12a)x2(a0)必过点C点和B点,再讨论:当a0,利用x1时,y0时得到a1+2a20,解不等式得到a的范围;当a0时,当顶点为B点,利用(12a)24a(2)0,得a,从而判断a时抛物线与线段AB总有两个公共点【解答】解:(1)当a1时,抛物线为yx2x2,点C的坐标为(0,2),令,x2x20,解得x11,x22,A在点B左侧,A(1,0),B(2,0);(2)当x0时,yax2+

41、(12a)x22;当x2时,yax2+(12a)x20,所以抛物线yax2+(12a)x2(a0)必过点C点和B点;当a0,当x1时,y0时,抛物线与线段AB总有两个公共点,即a1+2a20,解得a1;当a0时,当顶点为B点时,(12a)24a(2)0,解得a,则a时抛物线与线段AB总有两个公共点,综上所述,a的取值范围为a1或a【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数yax2+bx+c(a0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定23图中所示的抛物线形拱桥,当拱顶离水面4m时,水面宽8m水面上升3米,水面宽度减少多少?下面给出了解决这个问题的两种方法方法一 如图1,以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点,以上升前的水面所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy,这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为yx2+2x