1、2020中考数学备考训练：二次函数一选择题（共14小题）1抛物线y（x+2）21的对称轴是（）Ax1Bx1Cx2Dx22已知一次函数y1kx+m（k0）和二次函数y2ax2+bx+c（a0）部分自变量与对应的函数值如下表x10245y101356y201059当y2y1时，自变量x的取值范围是（）A1x2B4x5Cx1或x5Dx1或x43如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动若点A、B的坐标分别为（2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A1B3C5D74二次函数y（x1）23的最小值是（）A2B1C2D35已知
2、二次函数y1ax2+bx+c（a0）和一次函数y2kx+n（k0）的图象如图所示，下面有四个推断：二次函数y1有最大值二次函数y1的图象关于直线x1对称当x2时，二次函数y1的值大于0过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m3或m1其中正确的是（）ABCD6抛物线y（x1）2+2的顶点坐标是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）7将抛物线y4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）Ay4（x+1）2+3By4（x1）2+3Cy4（x+1）23Dy4（x1）238在同一平面直角坐标系中，一次
3、函数yax+b和二次函数yax2+bx的图象可能为（）ABCD9若将函数y2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）Ay2（x1）23By2（x1）2+3Cy2（x+1）23Dy2（x+1）2+310抛物线y（x+2）21可以由抛物线yx2平移得到，下列平移方法中正确的是（）A先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D先向右平移2个单位，再向下平移1个单位11把抛物线y3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）Ay3（x+3）22By3（x+3）2+2Cy3（x3）2
4、2Dy3（x3）2+212下列所给二次函数的解析式中，其图象不与x轴相交的是（）Ay4x2+5Byx2Cyx25xDy2（x+1）2313已知二次函数ymx2+（2m+1）x+m1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）AmBCm且m0Dm且m014函数yax22x+1和yax+a（a是常数，且a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）ABCD二填空题（共7小题）15如图，双曲线y与抛物线yax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0+bx+c的解集为 16将二次函数yx22x5化为ya（xh）2+k的形式为y 17抛物线yx22x+m与x
5、轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式为 18请写出一个开口向下，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式，y 19如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过点（，0），对称轴为直x1，下列5个结论：abc0；a+2b+4c0；2ab0；3b+2c0；abm（amb），其中正确的结论为 （注：只填写正确结论的序号）20已知二次函数yax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x21012y34305则此二次函数的对称轴为 21如图，抛物线yx2通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），它的顶点为A，以O为圆心，OA为半径作圆，在第四象限内与抛物线y
6、x2交于点C，连接AC，则图中阴影部分的面积为 三解答题（共29小题）22在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+（12a）x2（a0）与y轴交于点C，当a1时，该抛物线与x轴的两个交点为A，B（点A在点B左侧）（1）求点A，B，C的坐标；（2）若该抛物线与线段AB总有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围23图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，水面宽8m水面上升3米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种方法方法一 如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为 ；当
7、y3时，求出此时自变量x的取值，即可解决这个问题方法二 如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为 ；当y 时，求出此时自变量x的取值，即可解决这个问题24已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：yax28ax交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB6；抛物线l2与l1交于点A和点C（5，n）（1）求抛物线l1，l2的表达式；（2）当x的取值范围是 时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线MNy轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，当1m7时，求
8、线段MN的最大值25已知二次函数yax2+bx+c（a0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x2102y3435（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；（2）求出该函数图象与x轴的交点坐标26已知一次函数y2x+1的图象与y轴交于点A，点B（1，n）是该函数图象与反比例函数y（k0）图象在第二象限内的交点（1）求点B的坐标及k的值；（2）试在x轴上确定点C，使ACAB，直接写出点C的坐标27如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长28m设AB长为x m，矩形的面积为y m2（1）写出y与x的函数关系式；（2）当AB长为多少米时，所围成的花圃面
9、积最大？最大值是多少？（3）当花圃的面积为150m2时，AB长为多少米？28在平面直角坐标系xOy中，直线yx+n经过点A（4，2），分别与x，y轴交于点B，C，抛物线yx22mx+m2n的顶点为D（1）求点B，C的坐标；（2）直接写出抛物线顶点D的坐标（用含m的式子表示）；若抛物线yx22mx+m2n与线段BC有公共点，求m的取值范围29随着“节能减排、绿色出行”的健康生活意识的普及，新能源汽车越来越多地走进百姓的生活某汽车租赁公司拥有40辆电动汽车，据统计，当每辆车的日租金为120元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加5元时，未租出的车将增加1辆；该公司平均每日的各项支出共2100元（1
10、）若某日共有x辆车未租出，则当日每辆车的日租金为 元；（2）当每辆车的日租金为多少时，该汽车租赁公司日收益最大？最大日收益是多少？30已知二次函数ykx2（k+3）x+3在x0和x4时的函数值相等（1）求该二次函数的表达式；（2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出当y0时，自变量x的取值范围；（3）已知关于x的一元二次方程k2x2mx+m2m0，当1m3时，判断此方程根的情况31在平面直角坐标系xOy中，直线y2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线yax2+bx经过点A和点C（4，0）（1）求该抛物线的表达式（2）连接CB，并延长CB至点D，使DBCB，请判断点D是否在该抛物线上，并说
11、明理由（3）在（2）的条件下，过点C作x轴的垂线EC与直线y2x+2交于点E，以DE为直径画M，求圆心M的坐标；若直线AP与M相切，P为切点，直接写出点P的坐标32在二次函数yax2+bx+c（a0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x10123y83010（1）求这个二次函数的表达式；（2）当x的取值范围满足什么条件时，y0？33图中是抛物线形拱桥，当水面宽AB8米时，拱顶到水面的距离CD4米如果水面上升1米，那么水面宽度为多少米？34在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx2+（m+2）x+2过点（2，4），且与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C点D的坐标为（2，0），
12、连接CA，CB，CD（1）求证：ACOBCD；（2）P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP交BC于点E当BDE是等腰三角形时，直接写出点E的坐标；连接CP，当CDP的面积最大时，求点E的坐标35已知二次函数yx26x+5（1）解析式化为ya（xh）2+k的形式；（2）求出该函数图象与x轴、y轴的交点坐标36已知抛物线y（k1）x2+2kx+k2与x轴有两个不同的交点（1）若点（1，5）在此抛物线上，求此抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，直接写出当y0时，x的取值范围；（3）若此抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围37如图，抛物线yax2+bx+c经过A（4，0）、B（1，0）
13、、C（0，3）三点，直线ymx+n经过A（4，0）、C（0，3）两点（1）写出方程ax2+bx+c0的解；（2）若ax2+bx+cmx+n，写出x的取值范围38如图，矩形ABCD中，AB16cm，AD4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为x秒，PBQ的面积为y（cm2）（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求PBQ的面积的最大值39如图所示，在平面直角坐标系中，RtOBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上，且OB1，OC3
14、，将OBC绕原点O顺时针旋转90得到OAE，将OBC沿y轴翻折得到ODC，AE与CD交于点F（1）若抛物线过点A、B、C，求此抛物线的解析式；（2）求OAE与ODC重叠的部分四边形ODFE的面积；（3）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时AMC的面积最大？最大面积是多少？求出此时点M的坐标40二次函数yax2+bx+c的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点C（0，5），且经过点D（3，8）（1）求此二次函数的解析式；（2）将此二次函数的解析式写成ya（xh）2+k的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标41已知抛物线y1x
15、2+（m+1）x+m4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且对称轴为x1（1）求m的值；（2）画出这条抛物线；（2）若直线y2kx+b过点B且与抛物线交于点P（2m，3m），根据图象回答：当x取什么值时，y1y242某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个，市场调查发现：以60元/个的价格销售，平均每周销售书包100个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个（1）求该超市这款书包平均每周的销售量y（个）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（3）
16、当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？43已知抛物线yax2+bx+6与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OBOC，tanACO，顶点为D（1）求点A的坐标（2）求直线CD与x轴的交点E的坐标（3）在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（4）若点M（2，y）是此抛物线上一点，点N是直线AM上方的抛物线上一动点，当点N运动到什么位置时，四边形ABMN的面积S最大？请求出此时S的最大值和点N的坐标（5）点P为此抛物线对称轴上
17、一动点，若以点P为圆心的圆与（4）中的直线AM及x轴同时相切，则此时点P的坐标为 44已知二次函数yax2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标x202y111145已知二次函数yx24x+3（1）用配方法将yx24x+3化成ya（xh）2+k的形式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）根据图象回答：当自变量x的取值范围满足什么条件时，y0？46某网站出售一种毛绒兔玩具，试销中发现这种玩具每个获利x元时，一天需销售（60x）个，若要使一天出售该种玩具获利最大利润，那么第个玩具应获利
18、多少元？47如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），点C在y轴的正半轴上，BCx轴，且BC5，AB交y轴于点D，（1）求出C的坐标（2）过A，C，B三点的抛物线与x轴交于点E，连接BE，若动点M从点A出发沿x轴正方向运动，同时动点N从点E出发，在直线EB上作匀速运动，运动速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少时，MON为直角三角形48用配方法将二次函数y2x24x6化为ya（xh）2+k的形式（其中h，k为常数），并写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴49已知：如图，抛物线是由抛物线平移后得到的，分别求出抛物线和抛物线的解析式50二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，根据图象
19、解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c0的解集；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+ck有两个不相等的实数根，求k的取值范围2020中考数学备考训练：二次函数参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1抛物线y（x+2）21的对称轴是（）Ax1Bx1Cx2Dx2【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决【解答】解：抛物线y（x+2）21的对称轴是直线x2，故选：C【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答2已知一次函数y1kx+m（k0）和二
20、次函数y2ax2+bx+c（a0）部分自变量与对应的函数值如下表x10245y101356y201059当y2y1时，自变量x的取值范围是（）A1x2B4x5Cx1或x5Dx1或x4【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（1，0）和（4，5），1x4时，y1y2，从而得到当y2y1时，自变量x的取值范围【解答】解：当x0时，y1y20；当x4时，y1y25；直线与抛物线的交点为（1，0）和（4，5），而1x4时，y1y2，当y2y1时，自变量x的取值范围是x1或x4故选：D【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）与不等式的关系，利用两个
21、函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解3如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动若点A、B的坐标分别为（2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A1B3C5D7【分析】根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值【解答】解：根据题意知，点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（2，0），当对称轴过A点时，点M的
22、横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（5，0），故点M的横坐标的最小值为5，故选：C【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变4二次函数y（x1）23的最小值是（）A2B1C2D3【分析】由顶点式可知当x1时，y取得最小值3【解答】解：y（x1）23，当x1时，y取得最小值3，故选：D【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键5已知二次函数y1ax2+bx+c（a0）和一次函数y2kx+n（k0）的图象如图所示，下面有四个推断：二次函数y1有最大值二次函数y
23、1的图象关于直线x1对称当x2时，二次函数y1的值大于0过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m3或m1其中正确的是（）ABCD【分析】根据函数的图象即可得到结论【解答】解：二次函数y1ax2+bx+c（a0）的图象的开口向上，二次函数y1有最小值，故错误；观察函数图象可知二次函数y1的图象关于直线x1对称，故正确；当x2时，二次函数y1的值小于0，故错误；当x3或x1时，抛物线在直线的上方，m的取值范围为：m3或m1，故正确故选：D【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数图象，熟练运用二次函数图象上点的坐标特
24、征求出二次函数解析式是解题的关键6抛物线y（x1）2+2的顶点坐标是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可【解答】解：y（x1）2+2的顶点坐标为（1，2）故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键7将抛物线y4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）Ay4（x+1）2+3By4（x1）2+3Cy4（x+1）23Dy4（x1）23【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可【解答】解：抛物线y4x2向
25、右平移1个单位，再向上平移3个单位的顶点坐标为（1，3），得到的抛物线的解析式为y4（x1）2+3故选：B【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键，平移的规律：左加右减，上加下减8在同一平面直角坐标系中，一次函数yax+b和二次函数yax2+bx的图象可能为（）ABCD【分析】根据二次函数的性质首先排除B选项，再根据a、b的值的正负，结合二次函数和一次函数的性质逐个检验即可得出答案【解答】解：根据题意可知二次函数yax2+bx的图象经过原点O（0，0），故B选项错误；当a0时，二次函数yax2+bx的图象开口向下，一次函数yax+b的斜率
26、a为负值，故D选项错误；当a0、b0时，二次函数yax2+bx的对称轴x0，一次函数yax+b与y轴的交点（0，b）应该在y轴正半轴，故C选项错误；当a0、b0时，二次函数yax2+bx的对称轴x0，一次函数yax+b与y轴的交点（0，b）应该在y轴负半轴，故A选项正确故选：A【点评】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题9若将函数y2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）Ay2（x1）23By2（x1）2+3Cy2（x+1）23Dy2（x+1）2+3【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及
27、平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（1，3）；可设新抛物线的解析式为y（xh）2+k，代入得：y2（x+1）2+3，故选：D【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标10抛物线y（x+2）21可以由抛物线yx2平移得到，下列平移方法中正确的是（）A先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【分析】因为函
28、数yx2的图象沿y轴向下平移1个单位长度，所以根据左加右减，上加下减的规律，直接在函数上加1可得新函数yx21；然后再沿x轴向左平移2个单位长度，可得新函数y（x+2）21【解答】解：函数yx2的图象沿沿x轴向左平移2个单位长度，得，y（x+2）2；然后y轴向下平移1个单位长度，得，y（x+2）21；故可以得到函数y（x+2）21的图象故选：B【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式11把抛物线y3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）Ay3（x+3）22By3（x+3）2+2Cy3（x3）22Dy3（
29、x3）2+2【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解【解答】解：抛物线y3x2先向上平移2个单位，得：y3x2+2；再向右平移3个单位，得：y3（x3）2+2；故选：D【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式12下列所给二次函数的解析式中，其图象不与x轴相交的是（）Ay4x2+5Byx2Cyx25xDy2（x+1）23【分析】根据一元二次方程与二次函数的图象关系，当判别式小于0时，图象与x无交点进行选择即可【解答】解：A、y4x2+5与x轴无交点，故本选项正确；B、yx2与x轴有一个交点，故本选项错误；C、yx25x与
30、x轴有两个交点，故本选项错误；D、y2（x+1）23与x轴有两个交点，故本选项错误；故选：A【点评】本题考查了抛物线和x轴的交点，解题的关键是掌握一元二次方程与二次函数的图象关系13已知二次函数ymx2+（2m+1）x+m1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）AmBCm且m0Dm且m0【分析】根据二次函数ymx2+（2m+1）x+m1的图象与x轴有两个交点，可得（2m+1）24m（m1）0且m0【解答】解：原函数是二次函数，m0二次函数ymx2+（2m+1）x+m1的图象与x轴有两个交点，则b24ac0，即（2m+1）24m（m1）0，4m2+4m+14m2+4m0，8m+10m故选：
31、C【点评】考查二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断14函数yax22x+1和yax+a（a是常数，且a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误【解答】解：A、由一次函数yax+a的图象可得：a0，此时二次函数yax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数yax+a的图象可得：a0，此时二次函数yax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；C、由一次函数yax+a的图象可得：a0，此时二次函数yax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x0，故选项正确；D、由一次函
32、数yax+a的图象可得：a0，此时二次函数yax2+bx+c的对称轴x0，故选项错误故选：C【点评】应该熟记一次函数yax+a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等二填空题（共7小题）15如图，双曲线y与抛物线yax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0+bx+c的解集为x2xx3【分析】根据函数图象写出x轴上方且抛物线在双曲线上方部分的x的取值范围即可【解答】解：由图可知，x2xx3时，0ax2+bx+c，所以，不等式组0ax2+bx+c的解集是x2xx3故答案为：x2xx3【点评】本题考查了
33、二次函数与不等式组，此类题目，准确识图，利用数形结合的思想求解更简便16将二次函数yx22x5化为ya（xh）2+k的形式为y（x1）26【分析】利用配方法整理即可得解；【解答】解：（1）yx22x5x22x+16（x1）26，故答案为：（x1）26【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键17抛物线yx22x+m与x轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式为yx22x【分析】根据判别式的意义得到（2）24m0，然后解不等式组求出m的范围，再在此范围内写出一个m的值即可【解答】解：根据题意得到（2）24m0，解得m1，若m取0，抛物线解析式为yx2
34、2x故答案为yx22x【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0），b24ac决定抛物线与x轴的交点个数：b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；b24ac0时，抛物线与x轴没有交点18请写出一个开口向下，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式，yx2（答案不唯一）【分析】要根据开口向下且与x轴有惟一的公共点，写出一个抛物线解析式即可【解答】解：与x轴只有一个公共点，并且开口方向向下，a0，0，即b24ac0，满足这些特点即可如yx2故答案为：x2（答案不唯一）【点评】此题主要考查了二次函数的性质，要了
35、解性质与函数中a，b，c的关系19如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过点（，0），对称轴为直x1，下列5个结论：abc0；a+2b+4c0；2ab0；3b+2c0；abm（amb），其中正确的结论为（注：只填写正确结论的序号）【分析】根据抛物线开口方向得到a0，根据抛物线对称轴为直线x1得到b2a，则b0，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c0，所以abc0；由x，y0，得到a+b+c0，即a+2b+4c0；由ab，a+b+c0，得到b+2b+c0，即3b+2c0；由x1时，函数值最小，则ab+cm2amb+c（m1），即abm（amb）【解答】解：抛物线开口向上，a0，抛物线
36、对称轴为直线x1，b2a，则2ab0，所以错误；b0，抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0，abc0，所以错误；x时，y0，a+b+c0，即a+2b+4c0，所以正确；ab，a+b+c0，b+2b+c0，即3b+2c0，所以正确；x1时，函数值最小，ab+cam2mb+c（m1），abm（amb），所以错误故答案为【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数yax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即a
37、b0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数：b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；b24ac0时，抛物线与x轴没有交点20已知二次函数yax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x21012y34305则此二次函数的对称轴为x1【分析】观察表格发现函数的图象经过点（2，3）和（0，3），根据两点的纵坐标相同，说明两点关于对称轴对称，从而求解【解答】解：观察表格发现函数的图象经过点（2，3）和（0，3），两点的纵坐标相同，两点关于对称轴对称，对称轴为：
38、x1，故答案为：x1【点评】本题考查了二次函数的性质，了解（2，3）和（0，3）两点关于对称轴对称是解决本题的关键21如图，抛物线yx2通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），它的顶点为A，以O为圆心，OA为半径作圆，在第四象限内与抛物线yx2交于点C，连接AC，则图中阴影部分的面积为12【分析】先求出抛物线m的解析式，得到顶点A的坐标，求出OA的长度，根据抛物线的对称性，可知阴影部分的面积半圆的面积AOC的面积【解答】解：抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），抛物线m的对称轴为直线x3，抛物线yx2通过平移得到抛物线m，设抛物线m的解析式为y（x3）2+k，将O（
39、0，0）代入，得（03）2+k0，解得k4，抛物线m的解析式为y（x3）2+4，顶点A的坐标为（3，4），由勾股定理，得OA5连接OA、OC，由圆的对称性或垂径定理，可知C的坐标为（3，4），阴影部分的面积半圆的面积AOC的面积528312故答案为：12【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键三解答题（共29小题）22在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+（12a）x2（a0）与y轴交于点C，当a1时，该抛物线与x轴的两个交点为A，B（点A在点B左侧）（1）求点A，B，C的坐标；（2）若该抛物线与线段AB
40、总有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围【分析】（1）先由a1得到抛物线解析式；解方程x2x20得A（1，0），B（2，0），然后计算自变量为0时对应的函数值得到C点坐标；（2）先判断抛物线yax2+（12a）x2（a0）必过点C点和B点，再讨论：当a0，利用x1时，y0时得到a1+2a20，解不等式得到a的范围；当a0时，当顶点为B点，利用（12a）24a（2）0，得a，从而判断a时抛物线与线段AB总有两个公共点【解答】解：（1）当a1时，抛物线为yx2x2，点C的坐标为（0，2），令，x2x20，解得x11，x22，A在点B左侧，A（1，0），B（2，0）；（2）当x0时，yax2+
41、（12a）x22；当x2时，yax2+（12a）x20，所以抛物线yax2+（12a）x2（a0）必过点C点和B点；当a0，当x1时，y0时，抛物线与线段AB总有两个公共点，即a1+2a20，解得a1；当a0时，当顶点为B点时，（12a）24a（2）0，解得a，则a时抛物线与线段AB总有两个公共点，综上所述，a的取值范围为a1或a【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数yax2+bx+c（a0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定23图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，水面宽8m水面上升3米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种方法方法一 如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为yx2+2x