1、2020年华师大版九年级上册数学第24章 解直角三角形单元测试卷一选择题（共10小题）1如图，RtACB中，ACB90，ABC的平分线BE和BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D过P作PFAD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G则下列结论：APB45；PFPA；BDAHAB；DGAP+GH其中正确的是（）ABCD2下列说法正确的有（）如果A+BC，那么ABC是直角三角形；如果A：B：C1：2：3，则三角形是直角三角形；如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形A1个B2个C3个D4
2、个3下列说法中，正确的是（）A直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5B三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2b2c2C以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形DABC中，若A：B：C1：5：6，则ABC是直角三角形4如图，BD平分ABC，CDBD，D为垂足，C55，则ABC的度数是（）A35B55C60D705若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）A等腰三角形B等边三角形C等腰直角三角形D直角三角形6如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，如果AC3，AB6，那么AD的值为（）ABCD37如图，ABC中，点D在线段BC上
3、，且BADC，则下列结论一定正确的是（）AAB2ACBDBABADBDBCCAB2BCBDDABADBDCD8RtABC中，C90，cosA，AC6cm，那么BC等于（）A8cmB cmC cmD cm9如果A为锐角，sinA，那么（）A0A30B30A45C45A60D60A9010RtABC中，C90，已知cosA，那么tanA等于（）ABCD二填空题（共8小题）11在RtABC中，锐角A35，则另一个锐角B 12直角三角形中两锐角平分线相交所成的角的度数是 13如图ABC中，A：B1：2，DEAB于E，且FCD75，则D 14RtABC中，C90，B2A，BC3cm，AB cm15如图，
4、在RtABC中，C90，CDAB，垂足为D，AD8，DB2，则CD的长为 16如图，若CD是RtABC斜边上的高，AD3，CD4，则BC 17如图，在84的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tanACB的值为 18已知A为锐角，且，那么A的范围是 三解答题（共8小题）19如图，在RtABC中，B90，AC60cm，A60，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（0t15）过点D作DFBC于点F，连接
5、DE，EF（1）求证：AEDF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由20如图，在ABC中，CE，BF是两条高，若A70，BCE30，求EBF与FBC的度数21如图，在ACB中，ACB90，CDAB于D（1）求证：ACDB；（2）若AF平分CAB分别交CD、BC于E、F，求证：CEFCFE22如图所示，在ABC中，已知ADBC，B64，C56，（1）求BAD和DAC的度数；（2）若DE平分ADB，求AED的度数23如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan，即cta
6、n，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30 ；（2）如图，已知tanA，其中A为锐角，试求ctanA的值24下列关系式是否成立（090），请说明理由（1）sin+cos1；（2）sin22sin25小明在某次作业中得到如下结果：sin27+sin2830.122+0.9920.9945，sin222+sin2680.372+0.9321.0018，sin229+sin2610.482+0.8720.9873，sin237+sin2530.602+0.8021.0000，sin245+sin245（）2+（）21据此，小明猜想：对于任意锐角，均有sin2+sin2（90）1（）当3
7、0时，验证sin2+sin2（90）1是否成立；（）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例26计算：4sin260+tan458cos2302020年华师大版九年级上册数学第24章 解直角三角形单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1如图，RtACB中，ACB90，ABC的平分线BE和BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D过P作PFAD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G则下列结论：APB45；PFPA；BDAHAB；DGAP+GH其中正确的是（）ABCD【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两
8、个内角的和与角平分线的定义表示出CAP，再根据角平分线的定义ABPABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；先求出APBFPB，再利用“角边角”证明ABP和FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到ABBF，APPF；根据直角的关系求出AHPFDP，然后利用“角角边”证明AHP与FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DFAH；求出ADGDAG45，再根据等角对等边可得DGAG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GHGF，然后求出DGGH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AFAP，从而得出本小题错误【解答】解：ABC的角平分线BE和BAC的外角平分线，ABPABC，CAP（90+ABC）4
9、5+ABC，在ABP中，APB180BAPABP，180（45+ABC+90ABC）ABC，18045ABC90+ABCABC，45，故本小题正确；PFAD，APB45（已证），APBFPB45，PB为ABC的角平分线，ABPFBP，在ABP和FBP中，ABPFBP（ASA），ABBF，APPF；故正确；ACB90，PFAD，FDP+HAP90，AHP+HAP90，AHPFDP，PFAD，APHFPD90，在AHP与FDP中，AHPFDP（AAS），DFAH，BDDF+BF，BDAH+AB，BDAHAB，故小题正确；APPF，PFAD，PAF45，ADGDAG45，DGAG，PAF45，AGD
10、H，ADG与FGH都是等腰直角三角形，DGAG，GHGF，DGGH+AF，AFAP，DGAP+GH不成立，故本小题错误，综上所述正确故选：A【点评】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系2下列说法正确的有（）如果A+BC，那么ABC是直角三角形；如果A：B：C1：2：3，则三角形是直角三角形；如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形A1个B2个C3个D4个【分析】根据题意，一一查看选项，根据勾股定理的逆定理或有一个
11、角为直角的三角形为直角三角形判断选项是否正确【解答】解：A+BC，且A+B+C180，得C90，ABC是直角三角形，故正确；设Ax，B2x，C3x，则A+BC，由知，该三角形是直角三角形，故正确；4216，6236，显然42+4262，不符合勾股定理的逆定理，该三角形不是直角三角形，故正确；符合直角三角形的判定方法，故正确；所以4个结论都正确，故选D【点评】本题考查直角三角形的判定方法，此题中涉及到直角三角形的三种判定方法：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两个锐角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理；属基础题3下列说法中，正确的是（）A直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为
12、5B三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2b2c2C以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形DABC中，若A：B：C1：5：6，则ABC是直角三角形【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案【解答】解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故错误；B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为a，b，斜边为c则满足a2+b2c2”，故错误；C、比如：边长分别为3，4，5，有32+422552，能构成直角三角形，故错误；D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15，75，90，因而是直角三角形，故正确故选：D【点评】本题考查了直
13、角三角形的性质和判定，注意在叙述命题时要叙述准确4如图，BD平分ABC，CDBD，D为垂足，C55，则ABC的度数是（）A35B55C60D70【分析】根据直角三角形两锐角互余求出CBD，再根据角平分线的定义解答【解答】解：CDBD，C55，CBD905535，BD平分ABC，ABC2CBD23570故选：D【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键5若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）A等腰三角形B等边三角形C等腰直角三角形D直角三角形【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案【解答】解：A、
14、等腰三角形，三条高线交点在三角形内或外或某一顶点处，故A错误；B、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故B错误；C、因为已知无法确定其两腰相等，而只要是直角三角形就行了，不一定非得是等腰直角三角形，故C错误；D、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，故D正确故选：D【点评】此题考查直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握6如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，如果AC3，AB6，那么AD的值为（）ABCD3【分析】根据射影定理得到：AC2ADAB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度【解答】解：如图，在RtABC中，ACB90，
15、CDAB，AC2ADAB，又AC3，AB6，326AD，则AD故选：A【点评】本题考查了射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项7如图，ABC中，点D在线段BC上，且BADC，则下列结论一定正确的是（）AAB2ACBDBABADBDBCCAB2BCBDDABADBDCD【分析】先证明BADBCA，则利用相似的性质得AB：BCBD：AB，然后根据比例性质得到AB2BCBD【解答】解：BADC，而ABDCBA，BADBCA，AB：BCBD：AB，AB2BCBD故选：C【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边
16、在斜边上的射影和斜边的比例中项也考查了相似三角形的判定与性质8RtABC中，C90，cosA，AC6cm，那么BC等于（）A8cmB cmC cmD cm【分析】首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度，再运用勾股定理即可求解【解答】解：在RtABC中，C90，cosA，AC6cm，AB10cm，BC8cm故选：A【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，同时考查了勾股定理9如果A为锐角，sinA，那么（）A0A30B30A45C45A60D60A90【分析】首先明确sin30，再根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析【解答】解：sin30，0
17、，0A30故选：A【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键10RtABC中，C90，已知cosA，那么tanA等于（）ABCD【分析】根据cosA设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值【解答】解：cosA知，设b3x，则c5x，根据a2+b2c2得a4xtanA故选：A【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值二填空题（共8小题）11在RtABC中，锐角A35，则另一个锐角B55【分析】根据在直角三角形中两个锐角互余即可得出答案【
18、解答】解：在RtABC中，锐角A35，另一个锐角B903555，故答案为：55【点评】本题考查了直角三角形的性质，属于基础题，主要掌握直角三角形中两个锐角互余12直角三角形中两锐角平分线相交所成的角的度数是45或135【分析】作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出ABC+BAC90，再根据角平分线的定义可得OAB+OBA（ABC+BAC），然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出AOE，即为两角平分线的夹角【解答】解：如图，ABC+BAC90，AD、BE分别是BAC和ABC的角平分线，OAB+OBA（ABC+BAC）45，AOEOAB+OBA45，AOB135两锐角的平分线的夹
19、角是45或135，故答案为：45或135【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键13如图ABC中，A：B1：2，DEAB于E，且FCD75，则D40【分析】先根据FCD60及三角形内角与外角的性质及A：B1：2可求出A的度数，再由DEAB及三角形内角和定理解答可求出AFE的度数，再根据三角形内角和定理即可求出答案【解答】解：FCD75，A+B75，A：B1：2，A7525，DEAB于E，AFE90A902565，CFDAFE65，FCD75，D180CFDFCD180657540故答案为：40【点评】本题考查了直角三角形的性质，垂直定义，三角形内
20、角和定理，三角形外角性质的应用，关键是求出DFC的度数14RtABC中，C90，B2A，BC3cm，AB6cm【分析】根据直角三角形的性质即可解答【解答】解：如图：RtABC中，C90，B2AA+B90A30，B60，BC3cm，AB236cm故答案为：6【点评】此题较简单，只要熟记30角所对的直角边等于斜边的一半即可解答15如图，在RtABC中，C90，CDAB，垂足为D，AD8，DB2，则CD的长为4【分析】根据射影定理得到：CD2ADBD，把相关线段的长度代入计算即可【解答】解：在RtABC中，C90，CDAB，垂足为D，AD8，DB2，CD2ADBD82，则CD4故答案是：4【点评】本
21、题考查了射影定理RtABC中，BAC90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：AD2BDDC；AB2BDBC；AC2CDBC16如图，若CD是RtABC斜边上的高，AD3，CD4，则BC【分析】由三角形的性质：直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项，即CD2ADBD，可将BD的长求出，然后在RtBCD中，根据勾股定理可将BC的边求出【解答】解：若CD是RtABC斜边上的高，AD3，CD4CD2ADBD，即423BD解得：BD在RtBCD中，BC2CD2+BD2，BC故答案为：【点评】本题主要考查三角形的性质及对勾股定理的应用17如图，在84的矩形网格中，每格小正方形的边
22、长都是1，若ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tanACB的值为【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解【解答】解：由图形知：tanACB，故答案为：【点评】题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义18已知A为锐角，且，那么A的范围是60A90【分析】首先明确cos60，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析【解答】解：cos60，余弦函数值随角增大而减小，当cosA时，A60又A是锐角，60A90故答案为：60A90【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键三解答题（共8小题）19如图，在RtAB
23、C中，B90，AC60cm，A60，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（0t15）过点D作DFBC于点F，连接DE，EF（1）求证：AEDF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当ADAE时，四边形AE
24、FD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）分两种情况讨论即可求解【解答】（1）证明：直角ABC中，C90A30CD4t，AE2t，又在直角CDF中，C30，DFCD2t，DFAE；解：（2）DFAB，DFAE，四边形AEFD是平行四边形，当ADAE时，四边形AEFD是菱形，即604t2t，解得：t10，即当t10时，AEFD是菱形；（3）当t时DEF是直角三角形（EDF90）；当t12时，DEF是直角三角形（DEF90）理由如下：当EDF90时，DEBCADEC30AD2AECD4t，DF2tAE，AD4t，4t+4t60，t时，EDF90当DEF90时，DEEF，四边形AEFD是平行四边形
25、，ADEF，DEAD，ADE是直角三角形，ADE90，A60，DEA30，ADAE，ADACCD604t，AEDFCD2t，604tt，解得t12综上所述，当t时DEF是直角三角形（EDF90）；当t12时，DEF是直角三角形（DEF90）【点评】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用t表示DF、AD的长是关键20如图，在ABC中，CE，BF是两条高，若A70，BCE30，求EBF与FBC的度数【分析】在RtABF中，A70，CE，BF是两条高，求得EBF的度数，在RtBCF中FBC40求得FBC的度数【解答】解：在RtABF中，A70，CE，BF是两条高，EBF20，ECA2
26、0，又BCE30，ACB50，在RtBCF中FBC40【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键21如图，在ACB中，ACB90，CDAB于D（1）求证：ACDB；（2）若AF平分CAB分别交CD、BC于E、F，求证：CEFCFE【分析】（1）由于ACD与B都是BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出CFA90CAF，AED90DAE，再根据角平分线的定义得出CAFDAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明CEFCFE【解答】证明：（1）ACB90，CDAB于D，ACD+BCD90，B+BCD90，ACD
27、B；（2）在RtAFC中，CFA90CAF，同理在RtAED中，AED90DAE又AF平分CAB，CAFDAE，AEDCFE，又CEFAED，CEFCFE【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中22如图所示，在ABC中，已知ADBC，B64，C56，（1）求BAD和DAC的度数；（2）若DE平分ADB，求AED的度数【分析】（1）在RtBAD中，根据直角三角形的两个锐角互余的性质求解；在RtBAD中，根据直角三角形的两个锐角互余的性质求解；（2）由DE平分ADB，ADBC求得BDE45，再根据外角定理求解即可【解答】解：（1）ADBC，在Rt
28、BAD中，BAD+B90，又B64，BAD26；在RtBAD中，DAC+C90，又C56，DAC34；（2）ADBC，DE平分ADB，BDE45；在BED中，B64，B+BDE109；AEDB+BDE，AED109【点评】（1）考查了直角三角形的两个锐角互余的性质；（2）考查的是角平分线的定义以及外角定理23如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan，即ctan，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30；（2）如图，已知tanA，其中A为锐角，试求ctanA的值【分析】（1）根据直角三角形的性质用AC表示出AB及AC的值，再根据锐角三角函数的定
29、义进行解答即可；（2）由于tanA，所以可设BC3x，AC4x，则AB5x，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可【解答】解：（1）RtABC中，30，BCAB，ACAB，ctan30故答案为：；（2）tanA，设BC3x，AC4x，ctanA【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键24下列关系式是否成立（090），请说明理由（1）sin+cos1；（2）sin22sin【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在ABC中，B90，C则sin+
30、cos+1，故sin+cos1不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设30，则sin2sin60，2sin2sin3021，1，sin22sin，即sin22sin不成立【点评】本题考查了同角三角函数的关系解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值25小明在某次作业中得到如下结果：sin27+sin2830.122+0.9920.9945，sin222+sin2680.372+0.9321.0018，sin229+sin2610.482+0.8720.9873，sin237+sin2530.602+0.8021.0000，sin245+sin245（）2+（）21据此，小明猜想：
31、对于任意锐角，均有sin2+sin2（90）1（）当30时，验证sin2+sin2（90）1是否成立；（）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例【分析】（1）将30代入，根据三角函数值计算可得；（2）设A，则B90，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证【解答】解：（1）当30时，sin2+sin2（90）sin230+sin260（）2+（）2+1；（2）小明的猜想成立，证明如下：如图，在ABC中，C90，设A，则B90，sin2+sin2（90）（）2+（）21【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键26计算：4sin260+tan458cos230【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可【解答】解：原式4（）2+18（）24+183+162【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键