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2020年人教版数学八年级下册18.2.1矩形同步练习(解析版)

1、18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形基础闯关全练1四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )AAB=CD BAD=BC CAB=BC DAC=BD2矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A对角相等 B对边相等 C对角线相等 D对角线互相平分3如图18-2-1-1在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若OA=2,则BD的长为( )A4 B3 C2 D1.4如图18-2-1-2,在矩形ABCD中,AC、BD交于点O,AB=1,AOB=60,则AD=_.5如图18-2-1-3,在ABC中,AB=AC,ADBC,垂足为D,E是AC的中点若DE=5,则A

2、B的长为_.6数学课上,老师要同学们判断一个四边形门框是不是矩形下面是某合作小组的4位同学拟订的方案,其中正确的是( )A测量对角线是否互相平分 B测量两组对边是否分别相等C测量一组对角是否都为直角 D.测量三个角是不是直角7如图18-2-1-4,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不一定正确的是( )AAB=CD BAC=BD C当ABC=90时,它是矩形 D.AC与BD互相平分能力提升全练1如图18-2-1-5,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE与AD交于点F,已知BDC=62则DFE的度数为( )A31 B28 C62 D562如图18-2-1-6,在矩形ABCD

3、中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为_3如图18-2-1-7,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足,则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值是_.三年模拟全练一、选择题1八年级(3)班同学要在广场上布置一个矩形的花坛,如图18-2-1-8计划用红花摆成两条对角线如果一条对角线用了49盆红花,还需要从花房运来红花( )A48盆 B49盆 C50盆 D51盆2如图18-2-1-9,已知在矩形ABCD中,AC与BD相交于D,DE平分ADC交BC于E,B

4、DE=15,则COE的度数为( )A75 B85 C90 D653如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形,那么这个四边形一定是( )A梯形 B矩形 C菱形 D正方形4如图18-2-1-10在ABC中,C=90,AC=6,BC=8,点P为斜边AB上一动点,过点P作PEAC于点E,PFBC于点F,连接EF,则线段EF的最小值为( )A1.2 B2.4 C2.5 D4.8二、填空题5如图18-2-1-11,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点请你添加一个条件,使四边形EFGH为矩形,可添加的条件是_.6如图18-2-1-12,在RtABC中,ACB=90

5、,点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点,若CD=5则EF的长为_.三、解答题7如图18-2-1-13,在ABC中,D是边BC上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF. (1)求证:BD=CD; (2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论 五年中考全练一、选择题1已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( )AA=B BA=C CAC=BD DABBC二、填空题2如图18-2-1-14,在RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD=_3如图18-2-1-15,矩形ABCD的对

6、角线AC与BD相交于点O,AC=10,P、Q分别为AO、AD的中点,则PQ的长度为_4如图18-2-1-16,在平行四边形ABCD中,添加一个条件_,使平行四边形ABCD是矩形5如图18-2-1-17,将矩形ABCD折叠,折痕为EF,BC的对应边BC与CD交于点M,若BMD=50,则BEF的度数为_.三、解答题6如图18-2-1-18,ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.(1)求证:AB=AF;(2)若AG=AB,BCD=120,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论 核心素养全练1阅读以下材料,然后解答下列问题:如

7、果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,那么称这样的矩形为三角形的“友好矩形”,如图18-2-1-19所示,矩形ABEF为ABC的“友好矩形”,显然,当ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”:(2)如图18-2-1-19,若ABC为直角三角形,且C=90在图18-2-1-19中画出ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小;(3)若ABC是锐角三角形,且BCACAB,在图18-2-1-19中画出ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明 2

8、长与宽之比为:1的矩形纸片称为标准纸,请思考并解答下列问题:(1)将一张标准纸ABCD(ABBC)对开,如图18-2-1-20所示,所得的矩形纸片ABEF是标准纸,请给予证明(2)在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片ABCD(ABBC)进行如下操作: 第一步:沿过A点的直线折叠,使B点落在AD边上的点F处,折痕为AE(如图18-2-1-21甲); 第二步:沿过D点的直线折叠,使C点落在AD边上的点N处,折痕为DG(如图18-2-1-21乙),此时E点恰好落在AE边上的点M处;第三步:沿直线DM折叠(如图18-2-1-21丙),此时点G恰好与N点重合请你探究:矩形纸片ABCD是不是标准纸,请

9、说明理由(3)不难发现:将一张标准纸按如图18-2-1-22所示的方式一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸,现有一张标准纸ABCD,AB=1,BC=,问第5次对开后所得标准纸的周长是多少?探索并直接写出第2018次对开后所得标准纸的周长 18.2特殊的平行四边形 18.2.1 矩形1D添加AC=BD,四边形ABCD的对角线互相平分,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”,可知四边形ABCD是矩形,故选D2C矩形的对角线相等,而平行四边形的对角线不一定相等3A因为矩形的对角线相等且互相平分,OA=2,所以AC=20A=4,BD=AC,所以

10、BD的长为44答案 解析 四边形ABCD是矩形,AC=BD,AO=CO,BO=DO,BAD=90,AO=BO,AOB=60,AO=BO=AB=1.BD=2,AD=5答案10 解析 ADBC,E为AC的中点,DE是RtADC斜边上的中线,AC=2DE=10. 又AB=AC, AB=10.6D根据有三个角是直角的四边形是矩形可以判定此四边形是矩形7.B因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AC与BD互相平分,当ABC=90时,它是矩形,所以选项A、C、D中结论正确,故选B1D四边形ABCD为矩形,ADBC,ADC=90,FDB=90-BDC=90-62=28,ADBC, CBD=FDB=

11、28,矩形ABCD沿对角线BD折叠,FBD=CBD=28,DFE=FBD+FDB=28+28=56.2答案 解析如图,连接AE,由作图可知MN垂直平分AC,EA=EC=3,四边形ABCD是矩形,D=90在RtADE中,AD=,在RtADC中,AC=.3答案4解析 如图,设点P到AB的距离是h,则ABh=ABAD,即4h=43,h=2,可见点P是直线EF(EFAB,且EF与AB间的距离是2)上的动点,作点B关于EF的对称点B,连接AB交EF于点P,则此时PA+PB的值最小,最小值为AB=一、选择题1A 矩形的对角线互相平分且相等,一条对角线用了49盆红花,中间一盆为对角线交点,还需要从花房运来红

12、花49-1=48盆,故选A2A 由题意知CDE=CED=45,又BDE=15,所以CDO=60,由矩形的特征“对角线相等且互相平分”可知OD=OC,故OCD是等边三角形,从而有OC=OD=CE,DCO=60,OCB=30,进而求得COE=753.B因为“平行四边形的两组时角分别相等”“邻角互补”,所以相邻两个角的平分线组成的角是直角,即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形的四个角都是直角,是矩形故选B4.D 连接PC,PECA,PFBC,PEC=PFC=C=90,四边形ECFP是矩形,EF=PC,当PC最小时,EF也最小,又当CPAB时,PC最小,且AC=6,BC=8,由勾股定理得AB=1

13、0因此由等面积法,得PC=4.8,故选D二、填空题5答案EFFC(答案不唯一)解析 连接AC,E,F分别是边AB,BC的中点,EFAC,EF=AC,同理,HGAC,HG=AC,EFHG、EF=HG、四边形EFGH是平行四边形,要使四边形EFGH是矩形,则需有一个角为直角,如EFFG答案不唯一6答案5 解析 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,得AB=2CD=10根据三角形的中位线性质,可得EF=AB,因此EF=5三、解答题7解析 (1)证明:由题意知AFBD,AFE=ECD,E为AD的中点,AE=DE,又AEF=DEC,AEFDEC(AAS),AF=CD,又AF=BD,BD=CD. (2)

14、四边形AFBD为矩形,证明:AB=AC,由(1)知BD=CD,ADBC(三线合一),即ADB=90又AFBD,AF=BD,四边形AFBD为平行四边形,四边形AFBD是矩形,一、选择题1BA=B,ADBC,A=B=90,故A选项能判定:A=C是一组对角相等,任意平行四边形都具有的性质,故B选项不能判定:对角线相等的平行四边形是矩形,故C选项能判定,ABBC,B=90,故D选项能判定故选B二、填空题2答案3解析 ACB=90,D为AB的中点,CD=AB=6=33答案 解析 四边形ABCD是矩形,BD=AC=10,OD=BD,OD=5,P,Q分别为AO、AD的中点,PQ=OD=4答案AC=BD或AB

15、C=90或BCD=90或CDA=90或DAC=90或ABBC等(答案不唯一) 解析 根据矩形的判定可知:添加AC=BD或ABC=90或BCD=90或CDA=90或DAC=90或ABBC等条件后可使平行四边形ABCD是矩形5答案70 解析 依题意得B=B=BMD+BEA=90,所以BEA=90-50=40所以BEB=180-BEA=140,又BEF=BEF,所以BEF=BEB=70三、解答题6解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,ABCD,AFC=DCF,G为AD的中点,GA=GD,又AGF=DGC,AGFDGC(AAS),AF=CD,AB=AF. (2)四边形ACDF是矩形,

16、 证明:AF=CD,AFCD,四边形ACDF是平行四边形四边形ABCD是平行四边形,BAD=BCD=120,FAG=60,AB=AC=AF,AGF是等边三角形,AG=GF,AGFDGC, FG=CG=CF,AG=GD=AD,AD=CF,四边形ACDF是矩形1解析 (1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”(2)如图,共有两个“友好矩形”,分别为矩形BCAD、矩形ABEF易知,矩形BCAD、ABEF的面积都等于ABC面积的2倍,所以,RtABC的两个“友好矩形”的

17、面积相等(3)如图,共有3个“友好矩形”,分别为矩形BCDE、矩形CAFG和矩形ABHK,其中矩形ABHK的周长最小证明如下:易知,这三个矩形的面积相等,设其面积为S,矩形BCDE,CAFG及ABHK的周长分别为L,L,L,BC=a,CA=b,AB=c,则L=+2a,L=+2b,L=+2c,L-L=(+2a)-(+2b)=-(a-b)+2(a-b)=2(a-b),abS,ab,L-L0,即LL,同理可得,LL,LLL,L最小,即矩形ABHK的周长最小2解析(1)证明:矩形纸片ABCD是标准纸,且ABBC,.由对开的含义知AF=BC,,矩形纸片ABEF是标准纸(2)是标准纸理由如下:设AB=CD=a,a0由图形折叠可知ABEAFE,BAE=FAE,DAE=BAD=45,由图形折叠知DGEM,AGD=90,ADG是等腰直角三角形,又由图形折叠知DG=CD=a,在RtADG中,AD=,.矩形纸片ABCD是标准纸, (3)第5次对开后所得的标准纸的周长为,第2018次对开后所得的标准纸的周长为