1、18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形基础闯关全练1四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）AAB=CD BAD=BC CAB=BC DAC=BD2矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A对角相等 B对边相等 C对角线相等 D对角线互相平分3如图18-2-1-1在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为（ ）A4 B3 C2 D1.4如图18-2-1-2，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AB=1，AOB=60，则AD=_.5如图18-2-1-3，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为D，E是AC的中点若DE=5，则A
2、B的长为_.6数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是不是矩形下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是（ ）A测量对角线是否互相平分 B测量两组对边是否分别相等C测量一组对角是否都为直角 D.测量三个角是不是直角7如图18-2-1-4，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ）AAB=CD BAC=BD C当ABC=90时，它是矩形 D.AC与BD互相平分能力提升全练1如图18-2-1-5，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD交于点F，已知BDC=62则DFE的度数为（ ）A31 B28 C62 D562如图18-2-1-6，在矩形ABCD
3、中，按以下步骤作图：分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；作直线MN交CD于点E若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为_3如图18-2-1-7，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值是_.三年模拟全练一、选择题1八年级(3)班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，如图18-2-1-8计划用红花摆成两条对角线如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来红花（ ）A48盆 B49盆 C50盆 D51盆2如图18-2-1-9，已知在矩形ABCD中，AC与BD相交于D，DE平分ADC交BC于E，B
4、DE=15，则COE的度数为（ ）A75 B85 C90 D653如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）A梯形 B矩形 C菱形 D正方形4如图18-2-1-10在ABC中，C=90，AC=6，BC=8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PEAC于点E，PFBC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）A1.2 B2.4 C2.5 D4.8二、填空题5如图18-2-1-11，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，可添加的条件是_.6如图18-2-1-12，在RtABC中，ACB=90
5、，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若CD=5则EF的长为_.三、解答题7如图18-2-1-13，在ABC中，D是边BC上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF. (1)求证：BD=CD； (2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论 五年中考全练一、选择题1已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）AA=B BA=C CAC=BD DABBC二、填空题2如图18-2-1-14，在RtABC中，ACB=90，AB=6，D是AB的中点，则CD=_3如图18-2-1-15，矩形ABCD的对
6、角线AC与BD相交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为_4如图18-2-1-16，在平行四边形ABCD中，添加一个条件_，使平行四边形ABCD是矩形5如图18-2-1-17，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边BC与CD交于点M，若BMD=50，则BEF的度数为_.三、解答题6如图18-2-1-18，ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.(1)求证：AB=AF；(2)若AG=AB，BCD=120，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论 核心素养全练1阅读以下材料，然后解答下列问题：如
7、果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，那么称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图18-2-1-19所示，矩形ABEF为ABC的“友好矩形”，显然，当ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”：(2)如图18-2-1-19，若ABC为直角三角形，且C=90在图18-2-1-19中画出ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3)若ABC是锐角三角形，且BCACAB，在图18-2-1-19中画出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明 2
8、长与宽之比为：1的矩形纸片称为标准纸，请思考并解答下列问题：(1)将一张标准纸ABCD(ABBC)对开，如图18-2-1-20所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸，请给予证明(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（ABBC）进行如下操作： 第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上的点F处，折痕为AE(如图18-2-1-21甲)； 第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上的点N处，折痕为DG(如图18-2-1-21乙)，此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图18-2-1-21丙），此时点G恰好与N点重合请你探究：矩形纸片ABCD是不是标准纸，请
9、说明理由(3)不难发现：将一张标准纸按如图18-2-1-22所示的方式一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸，现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2018次对开后所得标准纸的周长 18.2特殊的平行四边形 18.2.1 矩形1D添加AC=BD，四边形ABCD的对角线互相平分，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知四边形ABCD是矩形，故选D2C矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等3A因为矩形的对角线相等且互相平分，OA=2，所以AC=20A=4，BD=AC，所以
10、BD的长为44答案 解析 四边形ABCD是矩形，AC=BD,AO=CO,BO=DO,BAD=90，AO=BO,AOB=60，AO=BO=AB=1.BD=2,AD=5答案10 解析 ADBC，E为AC的中点，DE是RtADC斜边上的中线,AC=2DE=10. 又AB=AC, AB=10.6D根据有三个角是直角的四边形是矩形可以判定此四边形是矩形7.B因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AC与BD互相平分，当ABC=90时，它是矩形，所以选项A、C、D中结论正确，故选B1D四边形ABCD为矩形，ADBC，ADC=90，FDB=90-BDC=90-62=28,ADBC, CBD=FDB=
11、28，矩形ABCD沿对角线BD折叠,FBD=CBD=28，DFE=FBD+FDB=28+28=56.2答案 解析如图，连接AE，由作图可知MN垂直平分AC，EA=EC=3，四边形ABCD是矩形,D=90在RtADE中,AD=，在RtADC中，AC=.3答案4解析 如图，设点P到AB的距离是h，则ABh=ABAD，即4h=43,h=2，可见点P是直线EF(EFAB,且EF与AB间的距离是2)上的动点，作点B关于EF的对称点B，连接AB交EF于点P，则此时PA+PB的值最小，最小值为AB=一、选择题1A 矩形的对角线互相平分且相等，一条对角线用了49盆红花，中间一盆为对角线交点,还需要从花房运来红
12、花49-1=48盆，故选A2A 由题意知CDE=CED=45，又BDE=15，所以CDO=60，由矩形的特征“对角线相等且互相平分”可知OD=OC，故OCD是等边三角形，从而有OC=OD=CE，DCO=60，OCB=30，进而求得COE=753.B因为“平行四边形的两组时角分别相等”“邻角互补”，所以相邻两个角的平分线组成的角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形的四个角都是直角，是矩形故选B4.D 连接PC，PECA,PFBC，PEC=PFC=C=90，四边形ECFP是矩形，EF=PC，当PC最小时，EF也最小，又当CPAB时，PC最小，且AC=6，BC=8，由勾股定理得AB=1
13、0因此由等面积法，得PC=4.8，故选D二、填空题5答案EFFC(答案不唯一)解析 连接AC，E，F分别是边AB，BC的中点，EFAC，EF=AC，同理，HGAC,HG=AC，EFHG、EF=HG、四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH是矩形，则需有一个角为直角，如EFFG答案不唯一6答案5 解析 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得AB=2CD=10根据三角形的中位线性质，可得EF=AB，因此EF=5三、解答题7解析 (1)证明：由题意知AFBD,AFE=ECD，E为AD的中点，AE=DE，又AEF=DEC，AEFDEC(AAS),AF=CD，又AF=BD，BD=CD. (2)
14、四边形AFBD为矩形，证明：AB=AC，由(1)知BD=CD，ADBC(三线合一)，即ADB=90又AFBD，AF=BD，四边形AFBD为平行四边形，四边形AFBD是矩形，一、选择题1BA=B，ADBC,A=B=90，故A选项能判定：A=C是一组对角相等，任意平行四边形都具有的性质，故B选项不能判定：对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项能判定，ABBC,B=90，故D选项能判定故选B二、填空题2答案3解析 ACB=90，D为AB的中点，CD=AB=6=33答案 解析 四边形ABCD是矩形，BD=AC=10,OD=BD，OD=5，P,Q分别为AO、AD的中点，PQ=OD=4答案AC=BD或AB
15、C=90或BCD=90或CDA=90或DAC=90或ABBC等（答案不唯一） 解析 根据矩形的判定可知：添加AC=BD或ABC=90或BCD=90或CDA=90或DAC=90或ABBC等条件后可使平行四边形ABCD是矩形5答案70 解析 依题意得B=B=BMD+BEA=90，所以BEA=90-50=40所以BEB=180-BEA=140，又BEF=BEF，所以BEF=BEB=70三、解答题6解析(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD,AFC=DCF,G为AD的中点，GA=GD，又AGF=DGC，AGFDGC(AAS),AF=CD,AB=AF. (2)四边形ACDF是矩形，
16、 证明：AF=CD，AFCD，四边形ACDF是平行四边形四边形ABCD是平行四边形，BAD=BCD=120，FAG=60,AB=AC=AF，AGF是等边三角形，AG=GF，AGFDGC, FG=CG=CF,AG=GD=AD，AD=CF，四边形ACDF是矩形1解析 (1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”(2)如图，共有两个“友好矩形”，分别为矩形BCAD、矩形ABEF易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于ABC面积的2倍，所以，RtABC的两个“友好矩形”的
17、面积相等(3)如图，共有3个“友好矩形”，分别为矩形BCDE、矩形CAFG和矩形ABHK，其中矩形ABHK的周长最小证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，设其面积为S，矩形BCDE，CAFG及ABHK的周长分别为L，L，L，BC=a，CA=b，AB=c，则L=+2a,L=+2b,L=+2c,L-L=(+2a)-(+2b)=-（a-b）+2(a-b)=2(a-b),abS,ab,L-L0，即LL,同理可得，LL,LLL，L最小，即矩形ABHK的周长最小2解析(1)证明：矩形纸片ABCD是标准纸，且ABBC，.由对开的含义知AF=BC，,矩形纸片ABEF是标准纸(2)是标准纸理由如下：设AB=CD=a，a0由图形折叠可知ABEAFE，BAE=FAE，DAE=BAD=45，由图形折叠知DGEM，AGD=90,ADG是等腰直角三角形，又由图形折叠知DG=CD=a，在RtADG中，AD=，.矩形纸片ABCD是标准纸， (3)第5次对开后所得的标准纸的周长为，第2018次对开后所得的标准纸的周长为