1、2020年北师大版八年级上册数学第1章 勾股定理单元测试卷一选择题（共10小题）1若直角三角形两条直角边长分别为2，3，则该直角三角形斜边上的高为（）ABCD2如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）AB0.8C3D3如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）A18cm2 B36cm2C72cm2D108cm24“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形如图，每一个直
2、角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）A9B36C27D345图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A，B，C，D，并连结得到图2已知正方形EFGH与正方形ABCD的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（）A15cm2B30cm2C36cm2D60cm26在数学活动课上，老师要求学生在44的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有（）种A3B4C5D67在ABC中
3、，ABBC2，O是线段AB的中点，P是射线CO上的一个动点，AOC60，则当PAB为直角三角形时，AP的长为（）A1，7B1，C1，D1，3，8如果正整数a、b、c满足等式a2+b2c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A47B62C79D989如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得30，45，量得BC长为80米如果设河的宽度为x米，那么下列关系式中正确的是（）AB1CD10如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着
4、长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cmA25B20C24D10二填空题（共8小题）11直角三角形的斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形另一直角边是 12如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是5、8、3、5，则最大正方形E的面积是 13已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 14一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是 15如图所示，一个梯子AB长
5、2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了 米16有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树 米之外才是安全的17如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是 18在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是 米（精确到0.01米）三解答题（共8小题）19
6、如图，ABC中，ACB90，AB5cm，BC4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线ABCA运动，设运动时间为t（t0）秒（1）AC cm；（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t为何值时，ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？20如图，在四边形ABCD中，ABAD，A90，CBD30，C45，如果AB，求CD的长21在RtABC中，C90，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CHAB于H，延长CH交MN于点I（1）如图（1）若AC3，BC2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积（2）请利用图（2）证明直角
7、三角形勾股定理：AC2+BC2AB222如图，点C在线段BD上，ACBD，CACD，点E在线段AC上，且CECB，若已知BCa，ACb，ABc，请借助这个图形证明勾股定理23如图所示，在ABC中，CDAB于D，AC4，BC3，CD（1）求AD的长；（2）求证：ABC是直角三角形24如图，已知在四边形ABCD中，A90，AB2cm，ADcm，CD5cm，BC4cm，求四边形ABCD的面积25勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉吋期算书周髀算经就有“勾三股四弦五”的记载如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，
8、12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差如3，4，5中，522+12，32212；5，12，13中，1332+22，53222；请证明：m，n为正整数，且mn，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1a12+b12，c2a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为
9、正整数证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1c226一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得B90，AB3，BC4，CD12，AD13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？2020年北师大版八年级上册数学第1章 勾股定理单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1若直角三角形两条直角边长分别为2，3，则该直角三角形斜边上的高为（）ABCD【分析】已知两直角边长度，根据勾股定理即可求得斜边长，三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高【解答】解：设该直角三角形斜边上的高为h，直角三角形的两条直角边长分别为
10、2和3，斜边，23h，h，故选：C【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键2如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）AB0.8C3D【分析】连接AD，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长【解答】解：如图，连接AD，则ADAB3，由勾股定理可得，RtADE中，DE，又CE3，CD3，故选：C【点评】本题考查了勾股定理的运用，由勾股定理求出DE是解决问题的关键3如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长
11、是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）A18cm2 B36cm2C72cm2D108cm2【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：正方形A，B，C，D的面积之和等于正方形E，F的面积之和，正方形E，F的面积之和等于最大正方形G的面积【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积G的面积是6236cm2，A、B、C、D、E、F、G的面积之和为363108cm2故选：D【点评】本题主要考查了勾股定理，注意在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定
12、等于斜边长的平方4“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）A9B36C27D34【分析】由正方形的性质和勾股定理求出小正方形和大正方形的面积，即可得出小正方形与大正方形的面积差【解答】解：根据题意得：小正方形的面积（63）29，大正方形的面积32+6245，45936故选：B【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质和勾股定理，求出两个正方形的面积是解决问题的关键5图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向
13、外延长1倍得到点A，B，C，D，并连结得到图2已知正方形EFGH与正方形ABCD的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（）A15cm2B30cm2C36cm2D60cm2【分析】由正方形EFGH与正方形ABCD的面积分别为1cm2和85cm2，可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为x，则在RtAED中，由勾股定理可求出x，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积【解答】解：正方形EFGH与正方形ABCD的面积分别为1cm2和85cm2EFFGGHHF1，ABBCCDAD设四个直角三角形的较短边为x，则在RtAED中，DE2x，AE2x+1，由题意得（2x
14、）2+（2x+1）285，化简得2x2+x210x13，x23.5（舍）AFCH6，AECG4图2中阴影部分的面积是（362+342）230故选：B【点评】本题考查的是勾股定理在弦图中的应用，明确图中相关线段的长度关系，根据勾股定理列出方程是求解本题的关键6在数学活动课上，老师要求学生在44的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有（）种A3B4C5D6【分析】根据三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，画出的形状不同的直角三角形即可【解答】解：如图所示：形状不同的直角三角形共有3种情
15、况：直角边之比为1：1，或1：2，或1：3故选：A【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及勾股定理的运用，解题时注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是7在ABC中，ABBC2，O是线段AB的中点，P是射线CO上的一个动点，AOC60，则当PAB为直角三角形时，AP的长为（）A1，7B1，C1，D1，3，【分析】当ABP90时，由对顶角的性质可得AOCBOP60，易得BPO30，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当APB90时，分两种情况讨论：利用直角三角形斜边的中线等于斜
16、边的一半得出POBO，易得BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论【解答】解：如图1，当APB90时，AOBO，POBO，AOC60，BOP60，BOP为等边三角形，ABBC2，APABsin602；如图2，当ABP90时，AOCBOP60，BPO30，BP，在直角三角形ABP中，AP；如图3，AOBO，APB90，POAO，AOC60，AOP为等边三角形，APAO1，故选：C【点评】本题主要考查了勾股定理，含30直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，运用分类讨论，数形结合思想是解答此题的关键8如果正
17、整数a、b、c满足等式a2+b2c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A47B62C79D98【分析】依据每列数的规律，即可得到an21，b2n，cn2+1，进而得出x+y的值【解答】解：由题可得，3221，422，522+1，an21，b2n，cn2+1，当cn2+165时，n8，x63，y16，x+y79，故选：C【点评】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2c2 的三个正整数，称为勾股数9如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得30，45，量得BC长为80米如果设
18、河的宽度为x米，那么下列关系式中正确的是（）AB1CD【分析】过点A作ADBC于点D，直接利用已知条件得出ADCD，再利用tan30，进而得出关系式【解答】解：如图，过点A作ADBC于点D，45，ADCDx，RtABD中，tan，tan30故选：D【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键10如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cmA25B20C24D10【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1；把右侧面展开到正面上，
19、连结AB，如图2；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较【解答】解：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1，AB5（cm）把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2，AB25（cm）；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，AB5（cm）25所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm故选：A【点评】本题考查了平面展开最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是两点之间，线段最短在平面图形上构造直角三角形解决问题二填空题（共8小题）11直角三角形的斜边长是5，一
20、直角边长是3，则此直角三角形另一直角边是4【分析】根据勾股定理计算即可【解答】解：由勾股定理得，直角三角形另一直角边4，故答案为：4【点评】本题考查的是勾股定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2c2是解题的关键12如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是5、8、3、5，则最大正方形E的面积是123【分析】根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积正方形A的面积+正方形B的面积52+8289，同理，正方形G的面积正方形C的面积+正方形
21、D的面积32+5234，正方形E的面积正方形F的面积+正方形G的面积89+34123，故答案为：123【点评】本题考查的是勾股定理的运用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2c213已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于【分析】根据勾股定理的逆定理，ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边高2短边短边2，就可以求出最长边的高【解答】解：52+122132，根据勾股定理的逆定理，ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的高为h，则SABC51213h，解得：h，故答案为【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和利用三角形的面积公式求高14一种
22、盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是15.6cma16.6cm【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.615.6；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答【解答】解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.615.6（cm）；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为22.55（cm）杯里面部分管长为13（cm），总长为13+3.616.6（cm），故管长acm的取值范围是15.6cma16.6cm故答案为：15.6cma
23、16.6cm【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是要找出管最长和最短时在杯中所处的位置，然后计算求解15如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了0.9米【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC2.4米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE1.5米，所以AE0.9米，即梯子的顶端下滑了0.9米【解答】解：在RtABC中，AB2.5米，BC1.5米，AC2.4米，在RtECD中，ABDE2.5米，CD1.3+0.72米，EC1.5米
24、，AEACCE2.41.50.9米故答案为：0.9【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式16有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树4米之外才是安全的【分析】根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答【解答】解：如图，BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC413m，AB945m，在RtABC中，AC4【点评】此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答17如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取
25、3）是10cm【分析】根据两点之间，线段最短先将图形展开，再根据勾股定理进行计算即可【解答】解：侧面展开图如图所示：可以把A和B展开到一个平面内，即圆柱的半个侧面是矩形：矩形的长BC426cm，矩形的宽AC8cm，在直角三角形ABC中，AC8cm，BC6cm，根据勾股定理得：AB10cm故答案为：10cm【点评】本题考查的是平面展开最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是两点之间，线段最短在平面图形上构造直角三角形解决问题18在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正
26、视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是2.60米（精确到0.01米）【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答【解答】解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，长为2+0.222.4米；宽为1米于是最短路径为：2.60米故答案为：2.60【点评】本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，是中档题三解答题（共8小题）19如图，ABC中，ACB90，AB5cm，BC4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线ABCA运动，设运动时间为t（t0）秒（1）AC3cm；（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；（3）在
27、运动过程中，当t为何值时，ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？【分析】（1）由勾股定理直接求出AC的长为3cm；（2）由线段垂直平分线性质定理，点P的位置有两种情况，由路程，速度，时间三者的关系，勾股定理相关知识求出t的值为秒或秒；（3）由ACP是以AC为腰的等腰三角形，分类由勾股定理，等积变换，路程，速度，时间三者的关系，求出t的值为或秒或6秒【解答】解：（1）如甲图所示：ACB90，ABC是直角三角形，在RtABC中，由勾股定理得，又AB5cm，BC4cm，3，故答案为3；（2）点P恰好在AB的垂直平分线上时，如乙图所示：DE是线段AB的垂直平分线，ADBD，AEBE，当点P运
28、动到点D时，AB5cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度运动，t1秒，当点P运动到点E时，设BEx，则EC4x，AEBE，AEx，在RtAEC中，由勾股定理得，AE2AC2+EC2AC3，AEx，EC4x，32+（4x）2x2，解得：x，AB+BE，秒，即点P在AB的垂直平分线上时，运动时间t为秒或秒；（3）运动过程中，ACP是等腰三角形，当APAC时，如丙图（1）所示：AC3，AP3，t13秒，当CACP时，如丙图（2）所示：若点P运动到P1时，ACP1C，过点C作CHAB交AB于点H，AB5cm，BC4cm，AC3cm，CHcm，在RtAHC中，由勾股定理得，AHcm，又AP12AHcm
29、，秒，若点P运动到P2时，ACP2C，AC3cm，P2C3cm，又BP2BCP2C，BP21cm，AP+BP25+16cm，t46秒，综合所述，ACP是以AC为腰的等腰三角形时，t为3秒或秒或6秒【点评】本题综合考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线性质定理，等腰三角形的判定和等积变换等相关知识点，重点掌握勾股定理的应用，难点是分类思想计论等腰三角形两腰情况，易错点第二种情况ACAP时，点P可以在AB或BC易漏掉20如图，在四边形ABCD中，ABAD，A90，CBD30，C45，如果AB，求CD的长【分析】过点D作DEBC于E，根据等腰直角三角形的性质求出AD、BD，再根据直角三角形30角所对的
30、直角边等于斜边的一半求出DE，利用CDE是等腰直角三角形，即可求出CD的长【解答】解：如图，过点D作DEBC于E，ABAD，BAD90，ADAB，由勾股定理可得BD2，CBD30，DEBD21，又RtCDE中，DEC90，C45，由勾股定理可得CD【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等腰直角三角形的性质，通过作辅助线，把BCD分成两个直角三角形是解题的关键，也是本题的难点21在RtABC中，C90，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CHAB于H，延长CH交MN于点I（1）如图（1）若AC3，BC2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于
31、正方形AEFC的面积（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2AB2【分析】（1）利用勾股定理求出AB，根据ABC面积的两种算法求出CH，再求出AH，即可得到四边形AHIN的面积、正方形AEFC的面积，即可解答；（2）根据四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积，所以AC2AHAB，同理可得：BC2BHAB，所以AC2+BC2AHAB+BHABAB2【解答】解：（1）在RtABC中，C90，AC3，BC2，AB，即，CH，AH，S四边形AHINAHAN18，四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积（2）四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积AC2AHAB，同理可得
32、：BC2BHAB，AC2+BC2AHAB+BHABAB2【点评】本题考查勾股定理，解决本题的关键是应用勾股定理求边的长度22如图，点C在线段BD上，ACBD，CACD，点E在线段AC上，且CECB，若已知BCa，ACb，ABc，请借助这个图形证明勾股定理【分析】根据全等三角形的判定和性质以及面积计算解答即可【解答】证明ACBD，ECDACB90，CACD，CECB，ECDBCA（SAS），ABED，BACEDC，AEFDEC，EDC+DEC90，BAC+AEFEDC+DEC90，AFE180（BAC+AEF）90，DFABSABDSBCE+SACD+SABEa2+b2+cEF，SABDcDFc
33、（EF+DE）c（EF+c），a2+b2+cEFc（EF+c），a2+b2c2【点评】本题是勾股定理得众多证明方法中的一种，注意面积法在证明过程中的应用23如图所示，在ABC中，CDAB于D，AC4，BC3，CD（1）求AD的长；（2）求证：ABC是直角三角形【分析】（1）依据ADC90，利用勾股定理可得AD；（2）依据勾股定理的逆定理，可得BC2+AC2AB2，即可得到ABC是直角三角形【解答】解：（1）CDAB，ADC90，AD；（2）证明：由上题知AD，同理可得BD，ABAD+BD5，32+4252，BC2+AC2AB2，ABC是直角三角形【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根据
34、图形判断出所求的边所在的直角三角形是解题的关键24如图，已知在四边形ABCD中，A90，AB2cm，ADcm，CD5cm，BC4cm，求四边形ABCD的面积【分析】连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明BCD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和【解答】解：连接BDA90，AB2cm，AD，根据勾股定理可得BD3，又CD5，BC4，CD2BC2+BD2，BCD是直角三角形，CBD90，S四边形ABCDSABD+SBCDABAD+BCBD2+43+6（cm2）【点评】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键解题时注意：如果三角形的
35、三边长a，b，c满足a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形25勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉吋期算书周髀算经就有“勾三股四弦五”的记载如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差如3，4，5中，522+12，32212；5，12，13中，1332+22，53222；请证明：m，n为正整数，且mn，若有一个直角三角形
36、斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1a12+b12，c2a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1c2【分析】（1）用平方差公式因式分解，并化简，结合勾股定理的逆定理可得答案；（2）由勾股定理可得a，b的关系式，变形可用含b 的代数式表示出a；再根据b的范围分别代值验证，可求得a；从而可得b；（3）对常见的勾股数要熟悉，然后观察代值验证即可【解答】解：（1）证明：（m2
37、+n2）2（m2n2）2（m2+n2+m2n2）（m2+n2m2+n2）2m22n2（2mn）2（2mn）2+（m2n2）2（m2+n2）2m，n为正整数，且mn，2mn，m2n2，m2+n2均为正整数该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）由勾股定理得：7a7+（15030b）1615a由题意可知：7a70，15030b0a1，0b5a和b均为正整数b的可能值为：1，2，3，4当b1时，a，不是正整数，故b1不符合题意；当b2时，a，不是正整数，故b2不符合题意；当b3时，a，不是正整数，故b3不符合题意；当b4时，a31，是正整数，此时，+240，240+b4符合题意a；a31，b4（
38、3）证明：观察发现，当a1b11，a2b22时，c1c25525，152+202225+400625，252625152+202252存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1c2【点评】本题考查了勾股数的综合应用，对勾股定理及其逆定理以及常见的勾股数非常熟悉，是解题的关键26一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得B90，AB3，BC4，CD12，AD13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？【分析】由勾股定理逆定理可得ACD与ABC均为直角三角形，进而可求解其面积【解答】解：42+3252，52+122132，即AB2+BC2AC2，故B90，同理，ACD90，S四边形ABCDSABC+SACD34+5126+3036答：这块钢板的面积等于36【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图