1、,第一章 三角形的证明,4 角平分线,第一章 三角形的证明,4 角平分线,考场对接,题型一 与角平分线有关的计算题,考场对接,例题1 通辽中考如图1-4-10, ABC的 三边AB, BC, CA的长分别为40, 50, 60, 其 三条角平分线交于点O, 则SABO SBCO SCAO= _.,分析 根据角平分线的性质, 可知点O到ABC三边的距离相等.过点O作三边的垂线段(如图1-4-10), 可得OD=OF=OE, 因此ABO, BCO, CAO的面积之比等于AB, BC, CA的长度之比.,答案 456,锦囊妙计 利用三角形角平分线的性质巧解面积问题 (1)利用三角形角平分线的交点到各
2、边的距离相等添加垂线段； (2)通过角平分线的交点与三角形各顶点的连线构建三个三角形； (3)根据“在等高的情况下, 面积之比等于对应底之比”求解.,题型二 与角平分线有关的证明题,例题2 如图1-4-11, BCAB, AD=CD, BD平分ABC. 求证：DABBCD=180.,证明 如图1-4-11, 过点D作BA, BC的垂线, 垂足分别为E, F. BD平分ABC, DEBA, DFBC, DE=DF. 在RtADE和RtCDF中,AD=CD, DE=DF, RtADERtCDF, EAD=BCD. DABEAD=180, DABBCD=180.,例题3 如图1-4-12, BD是A
3、BC的平分线, AB=CB, 点P在BD上, PMAD, PNCD, 垂足分别是 M, N. 求证：PM=PN.,证明 BD为ABC的平分线, ABD=CBD. 在ABD和CBD中, AB=CB, ABD=CBD, BD=BD, ABDCBD(SAS), ADB=CDB. 点P在BD上, PMAD, PNCD, PM=PN,锦囊妙计 巧添辅助线妙解有关角平分线的问题 当运用已知条件无法解决问题时, 应考虑添加适当的辅助线来创造条件. 遇到角平分线, 应想到“向角的两边作垂线段”这种常见的辅助线作法.,题型三 角平分线的实际应用,例题4 如 图 1 -4-13, 在一次军事演习中, 红方侦察员发
4、现蓝方指挥部设在阴影区 内, 且到两条路的距离相等, 且距离两条 路的交叉处800 m. 如果你是红方的指挥 员, 请你在如图1-4-13所示的作战地图中 标出蓝方指挥部的大概位置D.(比例尺：150 000),分析 在阴影区域内, 到公路和铁路的距离相等的点在这两条路所夹 锐角的平分线上, 即作公路与铁路所夹锐角的平分线OC, 并按照比例尺在射线OC上截取OD=1.6 cm.,解 如图1-4-13.,例题5 某石油公司要修建一个加油站, 如图 1-4-14, 其设计要求是加油站到两村A, B的距 离必须相等, 且到两条公路m, n的距离也必须 相等, 那么加油站应修在什么位置？在图上标 出它
5、的位置. (要有作图痕迹),证明 如图1-4-14, 点P为所求作的加油站的位置.,锦囊妙计 尺规作角平分线的应用 几何问题中, 涉及探索“到角两边距离相等”的某点的位置, 可通过尺规作角平分线来解决. 解题时, 需要注意与线段垂直平分线的作法和应用的区别.,题型四 角平分线与平行线的综合应用,例题6 如图1-4-1 5 , 在ABC中, ABC与ACB 的平分线交于点O, 过点O作一条直线分别交AB, AC于点E, F, 且BE=EO 求证：OF=CF.,证明 BE=EO, EBO=EOB. 在ABC中, ABC与ACB的平分线交于点O, EBO=OBC, OCB=OCF, EOB=OBC,
6、 EFBC, 从而FOC=OCB=OCF, OF=CF.,锦囊妙计 构造等腰三角形的“四个方法” (1)“角平分线+平行线”构造等腰三角形，应用平行线的性质得到角的相等关系，应用等角对等边得到边的相等关系 (2)“角平分线+垂线”构造等腰三角形，逆用等腰三角形“三线合一”的性质定理 (3)应用“垂直平分线”构造等腰三角形. (4)用“三角形中角的2倍关系+角平分线”构造等腰三角形.,题型五 角平分线与线段垂直平分线的综合应用,例题7 如 图 1 - 4 - 16 , 在ABC中, AD平分 BAC, DG垂直平分BC交BC于点G, DEAB 于点E, DFAC交AC的延长线于点F. (1)求证
7、：BE=CF； (2)如果AB=5, AC=3, 求AE, BE的长,解 (1)证明：如图1-4-16, 连接BD, CD. AD平分BAC, DEAB, DFAC, DE=DF, BED=CFD=90. DG垂直平分BC, BD=CD. 在RtBED与RtCFD中, BD=CD, DE=DF, RtBEDRtCFD(HL), BE=CF.,(2)AD平分BAC, EAD=FAD. 在AED和AFD中, AED=AFD=90, EAD=FAD, AD=AD, AEDAFD(AAS), AE=AF. 设BE=x, 则CF=x. AB=5, AC=3, AE=AB-BE, AF=AC+CF, 5-
8、x=3+x, 解得x=1, BE=1, AE=AB-BE=5-1=4.,锦囊妙计 证明线段相等的常用方法 (1)利用全等三角形证明； (2)利用等腰三角形的性质证明； (3)利用线段垂直平分线的性质证明； (4)利用角平分线的性质证明.,题型六 角平分线性质和判定的综合应用,例题8 如图 1 - 4 - 17 , ABC的外角ACD的 平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P, 若BPC=40, 求CAP的度数,解 如图1-4-17, 过点P分别作PFBA, PGAC, PHBC, 垂足分别为F, G, H. ACD的平分线CP与ABC的平分线BP交于点P, PG=PH, PF=PH, PF=PG, AP平分CAF. BPC=PCD-PBD, BAC=ACD-ABD, ACD=2PCD, ABD=2PBD, BAC=2BPC=240=80, CAE=100, CAP= CAE= 100=50.,锦囊妙计 巧添辅助线妙解角平分线问题 添加辅助线, 构造角平分线性质、判定的基本图形, 可巧妙解决相关问题.,谢 谢 观 看！,