1、45向量的数量积45.1向量的数量积学习目标1.理解向量数量积的含义及其物理意义，体会向量数量积与向量投影的关系.2.能正确熟练地应用向量数量积的定义、运算律进行运算知识链接1如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功W是多少？答W|F|s|cos.2向量的数量积与数乘向量的区别是什么？答向量的数量积ab是一个实数，不考虑方向；数乘向量a是一个向量，既有大小，又有方向预习导引1两个向量的夹角规定a，b为a，b之间所夹的最小的非负角，取值范围规定为0，2向量的数量积定义|a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积，记作ab.即ab|a|b|cosa，b3定理
2、5：数量积的运算律(1)交换律：abba，对任意向量a，b成立；(2)与数乘的结合律：(ab)(a)ba(b)，对任意向量a，b和实数成立；(3)分配律：(aa)babab，对任意向量a，a，b成立.题型一平面向量数量积的基本概念例1下列判断：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若ab0，则|ac|bc|；a，b共线ab|a|b|；|a|b|0，则a与b的夹角为锐角；若a，b的夹角为，则|b|cos表示向量b在向量a方向上的投影长其中正确的是_答案解析由于a20，b20，所以，若a2b20，则ab0，故正确；若ab0，则ab，又a，b，c是三个非零向量，所以acbc，所以|a
3、c|bc|，正确；a，b共线ab|a|b|，所以错对于，应有|a|b|ab，所以错；对于，应该是aaa|a|2a，所以错；a2b22|a|b|2ab，故正确；当a与b的夹角为0时，也有ab0，因此错；|b|cos表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故错综上可知正确规律方法对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等跟踪演练1已知a、b、c是三个非零向量，则下列问题中真命题的个数为()ab|a|b|ab；a、b反向ab|a|b|；ab|ab|ab
4、|；|a|b|ac|bc|.A1B2C3D4答案C解析ab|a|b|cos，由ab|a|b|及a、b为非零向量可得cos1，0或.ab，且以上各步均可逆，故命题是真命题若a、b反向，则a、b的夹角为，ab|a|b|cos|a|b|，且以上各步均可逆，故命题是真命题当ab时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|ab|ab|.反过来，若|ab|ab|，则以a、b为邻边的四边形为矩形，ab，故命题是真命题当|a|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|ac|bc|，反过来由|ac|bc|也推不出|a|b|.
5、故命题是假命题综上，在四个命题中，前3个是真命题，第4个是假命题题型二平面向量数量积的基本运算例2已知|a|3，|b|6，当ab，a与b的夹角是60时，分别求ab.解当ab时，若a与b同向，则它们的夹角0，ab|a|b|cos036118；若a与b反向，则它们的夹角180，ab|a|b|cos18036(1)18；当a与b的夹角是60时，有ab|a|b|cos60369.规律方法非零向量共线的充要条件是ab|a|b|，因此，当ab时，有0或180两种情况跟踪演练2若向量a、b、c满足abc0，且|a|3，|b|1，|c|4，求abbcca.解方法一由已知得|c|a|b|，cab，可知向量a与b
6、同向，而向量c与它们反向abbcca3cos04cos18012cos180341213.方法二(abc)2a2b2c22(abbcca)，abbcca13.课堂达标1若ab0，则a与b的夹角a，b的取值范围是()A.B.C.D.答案C2若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为120，则aaab_.答案解析aaab1211cos120.3在ABC中，|13，|5，|12，则的值是_答案25解析易知|2|2|2，C90.cosB，cos，cos(180B)cosB.|cos(180B)13525.4已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).解(1)与的夹角为60.|cos6011.(2)与的夹角为120.|cos12011.(3)与的夹角为60，|cos6011.课堂小结1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆3b在a方向上的投影：|b|cos是一个数量而不是向量具体情况可以借助下表分析：的范围00909090180180图形b在a方向上的投影的正负正正0负负