1、34函数yAsin (x)的图象与性质34.1三角函数的周期性学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数ysinx，ycosx，ytanx都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期知识链接1观察单位圆中的三角函数线知正弦值每相隔2个单位重复出现，其理论依据是什么？答诱导公式sin(x2k)sinx(kZ)当自变量x的值增加2的整数倍时，函数值重复出现2设f(x)sinx，则sin(x2k)sinx可以怎样表示？答f(x2k)f(x)这就是说：当自变量x的值增加到x2k时，函数值重复出现预习导引1函数的周期性(1)对于函数f(x)，如
2、果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x2k)sin_x，cos(x2k)cos_x知ysinx与ycosx都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2.3yAsin(x)，yAcos(x)的周期一般地，函数yAsin(x)及yAcos(x)(其中A，为常数，且A0，0)的最小正周期T.题型一求正弦、余弦函数的周期例1求下列函数的
3、周期：(1)ysin(xR)；(2)y|sin2x|(xR)解(1)方法一令z2x，xR，zR.函数f(x)sinz的最小正周期是2，就是说变量z只要且至少要增加到z2，函数f(x)sinz(zR)的值才能重复取得，而z22x22(x)，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能重复取得，从而函数f(x)sin(xR)的周期是.方法二f(x)sin的周期为.(2)作出y|sin2x|的图象由图象可知，y|sin2x|的周期为.规律方法(1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“xT”时函数值重复出现，则可得T是函数的一个周期(2)常见三角函数周期的求法：对于形如函数
4、yAsin(x)，0(或yAcos(x)，0)的周期求法通常用公式T来求解对于形如y|Asin x|(或y|Acos x|)的周期情况常结合图象来解决跟踪演练1求下列函数的最小正周期：(1)ycos2x；(2)ysinx；(3)y2sin.解(1)定义法：令u2x，则cos2xcosu是周期函数，且最小正周期为2.cos(u2)cosu，则cos(2x2)cos2x，即cos2(x)cos2x.cos2x的最小正周期为.公式法：2，T，故ycos2x的周期为.(2)如果令ux，则sinxsinu是周期函数，且最小正周期为2.sinsin，即sinsinx.ysinx的最小正周期是4.(3)2s
5、in2sin，即2sin2sin.y2sin的最小正周期是6.题型二正弦、余弦函数周期性的应用例2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sinx，求f的值解f(x)的最小正周期是，ffff(x)是R上的偶函数，ffsin.f.规律方法解决此类问题关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内跟踪演练2若f(x)是以为周期的奇函数，且f1，求f的值解因f(x)是以为周期的奇函数，所以ffff1.课堂达标1函数ysin(4x)的周期是()A2 B C. D.答案C解析T.2下列函数中，周期为的是()Aysin Bysin2xC
6、ycos Dycos(4x)答案D解析T.3已知函数f(x)对于任意xR满足条件f(x3)，且f(1)，则f(2014)等于()A. B2 C2013 D2014答案B解析因为f(x6)f(x)，所以函数f(x)的周期为6，故f(2014)f(4)2.4已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)2，f(x3)f(x)，则f(8)_.答案2解析f(x3)f(x)，f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(x)f(x)f(8)f(223)f(2)f(13)f(1)f(1)2.课堂小结求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(xT)f(x)成立的T.(2)图象法，即作出yf(x)的图象，观察图象可求出T.如y|sinx|.(3)公式法，一般地，函数yAsin(x)(其中A、为常数，A0，0，xR)的周期T.