1、3.3.2正切函数的图象与性质学习目标1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题知识链接1正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？答，x (kZ)2如何作正切函数的图象？答类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”，这里的三点分别为(k，0)，其中kZ，两线分别为直线xk(kZ)，xk(kZ)3根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？答从正切函数的图象来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(x)tanx故正切函数是奇函数预习导引函数ytanx的性质与图象见右表：ytanx图象定义域x|xR，且x
2、k，kZ值域R奇偶性奇函数单调性在开区间 (kZ)内递增题型一求正切函数的定义域例1求函数y的定义域解根据题意，得解得所以函数的定义域为(kZ)规律方法求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线跟踪演练1求函数ylg(1tanx)的定义域解由题意得即1tanx1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是.由诱导公式得函数定义域是(kZ)题型二正切函数的单调性及应用例2(1)求函数ytan的单调区间(2)比较tan1、tan2、tan3的大小解(1)ytantan，由kxk(kZ)，得2kx2k，kZ，函数ytan的单调递减区间是，kZ.(2)tan
3、2tan(2)，tan3tan(3)，又2，20.3，30，显然231，且ytanx在内是增函数，tan (2)tan (3)tan1，即tan2tan3tan1.规律方法正切型函数单调性求法与正弦、余弦型函数求法一样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区间或单调减区间利用单调性比较大小要把角转化到同一单调区间内跟踪演练2(1)求函数y3tan的单调区间(2)比较tan与tan的大小解(1)y3tan3tan，令k2xk，则x，kZ，从而函数y3tan的单调递增区间为，kZ，故函数y3tan的单调递减区间为，kZ.(2)tantantan，tantantantantan，ytan
4、x在上单调递增，tantan.题型三正切函数图象与性质的综合应用例3设函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的定义域、单调区间及对称中心；(2)求不等式1f(x)的解集解(1)由k(kZ)得x2k，f(x)的定义域是.由kk(kZ)得2kx2k(kZ)函数f(x)的单调递增区间是(kZ)由(kZ)得xk，故函数f(x)的对称中心是，kZ.(2)由1tan，得kk(kZ)解得2kx2k(kZ)不等式1f(x)的解集是.规律方法对于形如ytan(x)(、为非零常数)的函数性质和图象的研究，应以正切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和换元法求解如果0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行
5、求解跟踪演练3画出函数y|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性解由y|tanx|得，y其图象如图由图象可知，函数y|tanx|是偶函数，单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ).课堂达标1函数y3tan(2x)的定义域是()Ax|xk，kZBx|x，kZCx|x，kZDx|x，kZ答案C2函数f(x)tan(x)的单调递增区间为()A(k，k)，kZB(k，(k1)，kZC(k，k)，kZD(k，k)，kZ答案C3方程tan在区间0,2)上的解的个数是()A5B4C3D2答案B解析由tan解得2xk(kZ)，x(kZ)，又x0,2)，x0，.故选B.4求函数y3tan的单调区间解因为y3tan3tan，又ytan的单调递增区间，令kk(kZ)，所以3kx3k2(kZ)所以y3tan的单调递减区间为(3k，3k2)(kZ)课堂小结1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为xk，kZ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增2正切函数的性质(1)正切函数ytanx的定义域是，值域是R.(2)正切函数在(kZ)上递增，不能写成闭区间正切函数无单调减区间